Calcule
onde é a fronteira da região definida por
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Opa, tudo bom? Vamos seguir com nosso estudo do Teorema de Green.
Vamos fazer um esboço da curva:
Como é o raio de uma circunferência, a região está limitada por uma circunferência de raio e outra de raio . Como temos e , tomamos apenas o 1º quadrante.
Essa curva (a fronteira da região) é formada por segmentos, cada um com uma parametrização. Resolvendo pela integral de linha, isso ia gerar muito trabalho. O que é uma dica de que pode ser uma boa usar o Teorema de Green, vamos tentar!
Passo 2
Vamos relembrar o que diz o teorema de Green? To sentindo que você disse “Siiim” então vambora, o teorema de Green é isso aqui para curvas fechadas, orientada positivamente (sentido anti horário) e sem singularidade
Onde a intenção é transformar uma integral de linha complicada em uma integral dupla bem mais simples.
Então vamos calcular
Temos
Então temos que
O campo vetorial da questão pode ser escrito como:
Passo 3
Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:
Note que a curva está orientada positivamente!
Passo 4
Como a região está compreendida entre dois arcos de circunferência, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:
Pelo próprio gráfico, vemos que
Que equivale a de circunferência. Os valores de variam entre os dois arcos, logo
Temos, então:
Colocando em evidência dentro do parênteses, temos
Passo 5
Agora podemos calcular a integral de dentro. Integrando em relação a temos (lembrando que tudo que tem é considerado como constante!
Passo 6
Integramos, então, em relação a :
Substituindo os valores, temos:
Isso nos dá
Que dá
Prontinho! E nem doeu rs.