Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para comparação entre Médias Populacionais com σ Conhecidos
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Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.1 – P3 – Questão 6
Uma máquina A produz peças circulares cujos diâmetros devem obedecer a uma determinada especificação em , e uma outra máquina B foi encontrada no mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são semelhantes, ou seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente iguais em termos dos diâmetros delas.
Tomou-se uma amostra de 13 peças da máquina A e 16 peças da máquina B, tendo sido obtidas as seguintes estimativas amostrais:
Máquina A: e ;
Máquina B: e ;
a) Teste a hipótese se existe diferença entre a média dos diâmetros da máquina A () para a média dos diâmetros da máquina B (), ao nível de significância de .
b) Através do teste de hipótese para a variância, determine com o nível de significância de se existe diferença entre a variância dos gastos da máquina A para a variância dos gastos da máquina B.
Passo 1
Fala galerinha, bora fazer mais uma questão de PROBEST!!!
Nesse problema ele forneceu para gente as médias e desvios-padrão amostrais de peças produzidas por duas máquinas A e B. Para a máquina A com , obtivemos e . Já para a máquina B com , achamos e .
No item (a) queremos saber se as duas médias são compatíveis entre si, dentro de uma significância de . Para comparar duas médias, usamos o teste T para a variável:
A variável segue uma distribuição de Student para
Eu sei que essas fórmulas são feias, mas é só usar elas direitinho e com calma que não vamos ter problema!
Passo 2
No fundo, o que queremos é fazer um teste de hipótese. Vamos estabelecer as hipóteses:
Se as médias forem compatíveis, a hipótese será aceita. Note também que se trata de um teste bilateral:
Assim, queremos a probabilidade da região central corresponda a e a porcentagem da região externa seja . Como a distribuição é simétrica e o teste é bilateral, dividimos essa porcentagem em partes iguais nas duas extremidades. Nosso objetivo é achar .
Para isso, olhamos na tabela na distribuição de Student. O primeiro passo para isso é calcular o número de graus de liberdade . Substituindo na expressão que escrevi acima:
Vamos arredondar para pois a tabela só apresenta valores inteiros. Queremos que
Olhando na tabela:
Portanto,
Passo 3
Como o teste é bilateral, nós vamos aceitar se
Para calcular o fazemos na expressão para (já que essa é a hipótese que queremos testar). Fazendo isso,
É fácil ver que a condição é satisfeita, de modo que a hipótese deve ser aceita. Isso significa que as médias são compatíveis entre si!
Passo 4
No item (b) devemos testar as variâncias e, para isso, vamos recorrer ao teste F. Primeiro vamos estabelecer as hipóteses do teste bilateral:
Para comparar variâncias, temos que usar a variável que segue a distribuição de Snedecor. A variável é dada por
Temos também que e .
Passo 5
Um gráfico da distribuição é dado a seguir:
Como o teste é bilateral, a porcentagem da região central deve ser , de modo que dividimos para cada extremidade. Temos que calcular e .
Temos que
Recorremos à tabela:
Portanto,
Já para o mínimo, temos
A prova não forneceu a tabela para a distribuição com . Mas olhando para a distribuição podemos perceber que deve ser muito pequeno, bem menor que . Isso que vai nos importar como vou te mostrar no próximo passo!
Passo 6
Agora calculamos supondo que (isso que queremos verificar no nosso teste):
Para que a hipótese seja aceita e as variâncias sejam compatíveis, devemos ter . Como , temos que . Resta ver se , o que é bem simples.
Apesar de não termos achado , concluímos que deve ser um número bem pequeno, menor que . Com isso, a condição é garantida. Portanto, as variâncias são compatíveis entre si!
Fechamos a questão 😉.
Resposta
a) As médias são compatíveis entre si.
b) As variâncias são compatíveis entre si.