Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, iremos proceder do seguinte modo:

  1. Selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a altura média deles;
  2. Se essa altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso contrário, são descendentes de A.

Os parâmetros das alturas das duas civilizações são:

A :   μ = 175   e   σ = 10

B :   μ = 177   e   σ = 10

Qual a probabilidade do erro de tipo I? E do erro de tipo II?

Passo 1

Primeiro vamos definir nossas hipóteses:

H 0 :     m o r a d o r e s   s ã o   d e   A

H 1 :     m o r a d o r e s   s ã o   d e   B

Note que aqui você poderia definir o contrário se quisesse.

Sabendo disso, nossa região crítica vai ser quando:

x - > 176

Que é quando rejeitamos a hipótese nula.

Passo 2

Então a probabilidade do erro de tipo I vai ser:

P e r r o   t i p o   I = P r e j e i t a r   H 0 H 0   é   v e r d a d e i r a = P ( x - > 176 | μ = 175 )

Padronizando isso aí:

P Z > 176 - 175 10 100 μ = 175 = P Z > 1 = 1 - Φ ( 1 )

Procurando esse z na tabela vemos que...

1 - Φ 1 = 1 - 0,8413 = 0,1587

Então:

P e r r o   t i p o   I = 0,1587

Passo 3

P e r r o   t i p o   I I = P r e j e i t a r   H 1 H 1   é   v e r d a d e i r a = P ( x - < 176 | μ = 177 )

Padronizando:

P Z < 176 - 177 10 100 μ = 177 = P Z < - 1 = P Z > 1 = 1 - Φ ( 1 )

Então vai dar no mesmo cálculo que fizemos para o erro I :

1 - Φ 1 = 0,1587

Então:

P e r r o   t i p o   I I = 0,1587

Resposta

0,1587

0,1587

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