Exercícios Resolvidos de Vetores

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Enunciado

Determine o valor da soma vetorial V → = V 1 → + V 2 → e do ângulo θ x que V → faz com o eixo positivo x . Complete tanto a solução gráfica quanto a algébrica.

Passo 1

Pra resolver isso de forma algébrica, podemos escrever ambos os vetores em termos de suas componentes.

O vetor V 1 → fica:

V 1 → = 27 c o s 30 ° i + 27 s e n 30 ° j = 23,3 8 i + 13,5 j

E quanto vale o ângulo que o vetor V 2 → faz com x positivo?

Bom, temos um triângulo semelhante ao triângulo formado pelo vetor e o eixo logo abaixo do mesmo na figura:

Tirando o arco tangente desse triângulo:

a r c t g 4 3 = 53,1 3 °

Opa, mas o vetor tá orientado no sentido contrário ao eixo, certo? Então devemos tomar o ângulo suplementar a esse ângulo, ou seja:

θ 2 = 180 - 53,1 3 ° = 126,87 °

Assim:

V 2 → = 21 cos ⁡ 126,87 ° i + 21 s e n 126,87 ° j = - 12,6 i + 16,8 j

Passo 2

E pra achar o vetor resultante? Bem, só somar componente a componente:

V → = V 1 → + V 2 → = 23,3 8 - 12,6 i + 13,5 + 16,8 j = 10,7 8 i + 30,3 j

Passo 3

O vetor resultante faz um ângulo θ x com x :

Pra achar esse ângulo, basta a gente tirar o arco tangente das componentes do vetor:

θ x = a r c t g 30,3 10,7 8 ≅ 70 , 42 °

É como se tivéssemos tirado o arco tangente do triângulo formado pelas componentes:

Passo 4

Vamos resolver essa questão agora usando a regra do paralelogramo. Como sabemos os ângulos que cada vetor faz com o eixo x , podemos descobrir o ângulo que um vetor faz com o outro, já que a soma de todos os ângulos deve ser igual a 180 ° :

Assim:

180 = 53,1 3 + 30 + θ v e t o r e s → θ v e t o r e s = 96,87 °

Maaaass a gente precisa achar α ... e já que num paralelogramo os ângulos opostos são iguais e somando todos dá 360°:

2 α + 2 θ v e t o r e s = 360

2 α + 2 × 96,87 = 360

α = 83,13

E agora sim vamos aplicar a lei dos cossenos pra achar a resultante:

V → 2 = 21 2 + 27 2 - 2 × 21 × 27 × cos ⁡ 83,13 °

V → = 32,16

Resposta

V → = 10,7 8 i + 30,3 j

V → = 32,16

θ x = 70,42 °

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