Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Vetores

Ver Teoria
Exercício 1112345678910

Enunciado

USP, Mecânica, P1-2020.2, Questão 03

03) O vetor posição de uma partícula com respeito a um sistema cartesiano de referência O i → j → k → é dado por:

r → t = A c o s t + t s e n t i → + B s e n t - t c o s t j → + C t 2 k →

Sendo A, B e C parâmetros constantes, determine, para t = π , preenchendo os respectivos campos com até 4 casas decimais e utilizando o ponto como separador de decimais.

a) A razão entre as componentes em j → e em i → do vetor velocidade.

b) A razão entre as componentes em k → e em i → do vetor aceleração.

c) A razão entre as componentes em i → e em k → do vetor tangente τ → na base de Frenet.

d) A razão entre as componentes em k → e em j → do vetor normal n → na base de Frenet.

e) A razão entre as componentes em k → e em i → do vetor binormal n → na base de Frenet.

Passo 1

Faaaala galerinha do Responde Aí, tudo bom com vocês?

a) Para começar nossa questão, temos o vetor posição de uma partícula e queremos encontrar a razão entre duas componentes do vetor velocidade quando t = π .

Então, basta a gente usar que a derivada da posição em relação ao tempo é justamente a velocidade. Daí:

v → t = d r → t d t = A c o s t + t s e n t i → + B s e n t - t c o s t j → + C t 2 k → '

Separando em cada uma das componentes, vem:

v → t =   A c o s t + t s e n t ' ⋅ i → + B s e n t - t c o s t ' ⋅ j → + C t 2 ' k →

∴   v → t = A t c o s t i → + B t s e n t j → + 2 C t k →

Daí, a razão entre as componentes em j → e em i → , quando t = π , vale:

v j π v i π = t s e n π t c o s π = 0 - 1 = 0

Muito bom! Vamos pra próxima!

Passo 2

b) Aqui precisamos calcular a razão entre duas componentes do vetor aceleração quando t = π .

A ideia é a mesma do item anterior, como temos o vetor velocidade e a sua derivada em relação é justamente o vetor aceleração, temos:

a → t = d v → t d t = A t c o s t i → + B t s e n t j → + 2 C t k → '  

Separando as derivadas, ficamos com:

a → t =   A t c o s t ' ⋅ i → +   B t s e n t ' ⋅ j → +   2 C t ' ⋅ k →

⇒ a → t = A c o s t - t s e n t ⋅ i → + B s e n t + t c o s t ⋅ j → + 2 C k →

Top! Pegando agora as componentes da aceleração em k → e i → , quando t = π , temos:

a k π a i π = A 1 - π ⋅ 0 2 C = A 2 C

Prontinho 😊

Passo 3

c) Nesse item precisamos calcular a razão entre as componentes do vetor tangente na base de Frenet, quanto t = π .

Lembra que a velocidade é sempre tangente à trajetória, daí pensando na base de Frenet, o vetor tangente vale:

τ → π = v → π v → π = - A π ⋅ i → + 2 C π ⋅ k → π A 2 + 4 C 2 = - A ⋅ i → + 2 C ⋅ k → A 2 + 4 C 2

Massa! Pegando agora as componentes em i → e em k → , temos:

τ i π τ k π =   - A 2 C

Excelente!

Passo 4

d) Agora temos que calcular mais uma razão também Rs, dessa vez entre componentes do vetor normal n → ( t ) da base de Frenet quando t = π .

O problema é que pra determinar o vetor normal em t = π , precisamos fazer:

n → π = b → π × τ → ( π )

Só que não conhecemos o vetor binormal ainda. Então, vamos precisar determinar ele primeiro.

Daí, sabendo que:

b → π = v → π × a → π | v → π × a → π | = 2 C i → + A k → A 2 + 4 C 2

Voltando agora para o vetor normal, teremos que:

n → π = 2 C i → + A k → A 2 + 4 C 2 × - A ⋅ i → + 2 C ⋅ k → A 2 + 4 C 2 =   - j →

Logo, a razão entre as componentes em k → e em j → do vetor normal em t = π é nulo, pois:

n k π n j π = 0 - 1 = 0

Prontinho 😊

Vamos pro último item da questão!

Passo 5

e) Para encerrar, precisamos calcular a razão entre componentes do vetor binormal de Frenet quando t = π .

Pelo item anterior, já sabemos que:

b → π = v → π × a → π | v → π × a → π | = 2 C i → + A k → A 2 + 4 C 2

Logo, a razão entre as componentes em k → e em i → , vale:

b k π b i π = A 2 C

Aeeee, terminamos mais uma questão! Valeu galera, espero vocês na próxima 😉

Resposta

a) 0

b) A 2 C

c) - A 2 C

d) 0

e) A 2 C

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que o volume comum aos cilindros de interseção definidos por x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2 é V = 16a3/3.
Suponha que dois valores adimensionais valem exatamente A = 8,67 e B = 1 , 429 . Usando as regras para algarismos significativos, apresentadas neste capítulo, calcule os valores de ( A + B ) , ( A - B
A partir da lei gravitacional calcule o peso W (força gravitacional em relação à Terra) de um homem de 80k g , em uma espaçonave percorrendo uma órbita circular 250k m acima da superfície da Terra. Ex
Determine o peso, em newtons, de uma mulher cujo peso é de 125 libras. Ache, também, sua massa em slugs e em quilogramas. Determine teu próprio peso em newtons.
Uma força é especificada pelo vetor F = 160i + 80j - 120kN . Calcule os ângulos entre F e os eixos positivos x , y e z .