Propriedades dos Determinantes
Teoria
Até aqui foi tudo muito prático, várias contas e tals. Agora finalmente vamos ver o resto das propriedades do Determinante e entender porque ele é tão especial.
A primeira vocês já conhecem:
- Determinante e dependência ou independência linear
- Linearidade do Determinante
- Determinante da matriz identidade
- Determinante da matriz transposta
- Determinante do produto
- Determinante da matriz inversa
- Determinante de uma matriz ortogonal
se, e somente se, possui linhas ou colunas .
Então já sabe, se for , seu determinante é zero. E se seu determinante for zero, ela é .
Temos que o determinante é linear em cada coluna. Assim:
O determinante da matriz identidade vale :
Bom, é fácil ver isso se lembrarmos que o determinante de uma matriz triangular superior é o produto dos elementos de sua diagonal principal. A matriz identidade só possui na diagonal, então seu determinante tem que valer
Lembra da matriz transposta?
É aquela em que você pega os vetores nas colunas da matriz original e os coloca nas linhas de outra matriz. Então, o determinante da matriz transposta é igual ao da matriz original:
Olha esse exemplo aqui:
Por mais incrível que pareça, o determinante do produto é o produto dos determinantes!
Quer ver? Um exemplo:
Multiplicando:
Calculando os determinantes de cada matriz:
E, de fato, :P
Obs: Muito cuidado agora, o determinante do produto é o produto dos determinantes, mas o determinante da soma NÃO é necessariamente igual à soma dos determinantes!!
Esse é o mais incrível. O determinante da matriz inversa dá o inverso do determinante.
Afinal:
Mas sabemos que , então:
Mas, pela propriedade do determinante do produto, que acabamos de ver:
Ou seja, você não precisa calcular a inversa para achar o determinante dela. =D
Repare também que se o determinante de uma matriz for igual a zero, ela não será invertível! Caso contrário, o determinante de sua inversa seria !!
Lembra de quando falamos de matrizes ortogonais? São matrizes cuja transposta é igual a inversa! Eu até dei alguns exemplos, como a matriz identidade, a matriz rotação ou a matriz reflexão.
Então, o que acontece é que nessas matrizes o determinante será sempre ou ! Por que isso? Bom se a matriz transposta é igual à inversa, seus determinantes também tem que ser iguais. Então:
Mas sabemos que:
Juntando essas informações temos:
Além dessas propriedades aí, existe um teorema muito útil que podemos juntar com o resto todo da matéria de Álgebra Linear! Se liga no bizu:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Calcule o determinante de , se
Passo 1
Pô, que droga... inverter matriz é o fim do mundo! E ainda calcular o determinante depois? Putz!
A minha sorte é que eu sei que eu não preciso inverter a matriz, pois .
O primeiro passo é você se lembrar disso!
Passo 2
Como a matriz tem muitos zeros, vamos usar o teorema de Laplace para calcular.
Podemos escolher a linha ou a coluna, pois ambas tem zeros.
Vamos usar a linha, então.
O único cofator que precisamos calcular é o do elemento .
Fica assim:
Então temos:
Agora falta calcular o menor principal, que é esse determinante .
Passo 3
Esse determinante também possui muitos zeros, então podemos aplicar Laplace nele.
A fila com mais zeros é a terceira coluna:
Nessa coluna só precisaremos calcular o cofator do , pois o resto é zero:
O valor do determinante é o seu cofator multiplicado pelo elemento , então o determinante de fica:
Passo 4
Agora falta só calcular esse determinante . Você pode calculá-lo como quiser, mas vou usar a regra de Sarrus:
Aí fica:
Passo 5
Só que não queremos saber o determinante de , e sim o de sua inversa!
Aí é usar a relação do passo :
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
As afirmativas abaixo tratam da matriz quadrada e da identidade . Qual das afirmativas é verdadeira?
Se a matriz é inversível, então
Se , então
Se é a matriz identidade de ordem , então
Se é , então
Passo 1
Pra resolver essa, é só lembrar do bizu!
Logo, se é inversível, implica que o . E portanto a afirmativa é falsa.
Passo 2
Se , então .
É só pensar no contário de novo. Se o , implica que o . Então a afirmativa é verdadeira.
Passo 3
Bom, se , então .
Repare que é uma matriz diagonal, e em especial uma matriz triangular, então é só multiplicar os elementos da diagonal principal:
Então . Falsa.
Passo 4
Bom, na ele fala que é . Ou seja, é desse tipo:
Vamos ver o que acontece com :
O que eu posso dizer sobre o determinante?
O que a gente sabe é que se eu multiplico uma linha ou uma coluna por um escalar, o determinante é multiplicado uma vez por esse escalar.
Agora se eu multiplico três linhas por , o determinante vai ser multiplicado três vezes por .
Então, nesse caso:
A é falsa então.
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Diga se as alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas:
- Se e então
- Se e então
Ambas são verdadeiras
I é verdadeira e II é falsa
I é falsa e II é verdadeira
Ambas são falsas
Passo 1
Vamos analisar as afirmativas.
Na afirmativa , sabemos que ele quer o determinante da matriz . Bom, sabemos que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante dela, então:
Agora é só lembrar que o determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinantes de cada uma!
Mas não se esqueça do nosso escalar real! Lembra da propriedade que cada vez que uma linha é multiplicada por um escalar real, multiplicamos o determinante?? Então, quando multiplicamos a matriz pelo escalar estamos multiplicando todas as linhas por ele, logo como a matriz é estamos multiplicando o determinante por ! Logo:
Assim podemos ver que a afirmativa é falsa.
Passo 2
Na afirmativa II, novamente podemos usar o fato de que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz:
Como o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:
Por fim, sabemos que o determinante da inversa é o inverso do determinante:
Logo a afirmativa é verdadeira
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #4
UFRJ-P2-2012.2
Seja uma matriz . Assinale a alternativa FALSA:
Se as linhas da matriz são linearmente dependentes, então
Passo 1
Considera aí uma matriz quadrada .
Se eu multiplico uma linha por , sabemos que o determinante dessa nova matriz é .
Se eu multiplicar mais uma linha por , o determinante vai ser o da matriz anterior multiplicado por , ou seja, .
Se eu multiplicar mais outra linha por , então o determinante da anterior vai ficar multiplicado por , e vai ser igual a .
Enfim, se no fim das contas eu tiver multiplicado todas as n linhas da matriz por , eu terei obtido a matriz , e o determinante dela vai ser:
A é verdadeira.
Passo 2
Essa propriedade da nós já vimos!
De fato, , tem nem o que discutir.
Passo 3
Igualmente, não é novidade para nós que se as linhas de uma matriz forem então seu determinante é zero, a também tá certa.
Passo 4
Por último, não podemos afirmar nada sobre a soma dos determinantes.
Um contraexemplo:
A primeira matriz tem determinante igual a , a segunda tem determinante igual a .
Mas a terceira matriz não tem determinante igual a , seu determinante é . ;)
Resposta
Letra