Matriz Rotação
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Uma matriz de rotação, como o próprio nome já diz, é uma matriz que roda um vetor no espaço em que está contido. Vamos nos limitar, no entanto, à rodar um vetor de um ângulo no ou rodá-lo e torno de um eixo no .
Rotação no
Temos então uma transformação , tal que . Onde é o vetor rotacionado de graus.
Para descobrirmos a matriz que faz isso, precisamos primeiro descobrir qual a equação de . Para isso precisamos saber e . Vamos começar visualizando o que acontece quando rodamos esses vetores:
Com essas imagens fica fácil né! Temos que:
Logo,
Obs: Lembrando que essa é a matriz que representa a rotação no sentido trigonométrico (anti-horário)! A matriz rotação no sentido horário ficaria assim (resolve aí):
Rotação no
Vamos agora para a rotação no !
Note que agora temos que especificar o eixo de rotação. Então, como você já deve ter imaginado, teremos matrizes possíveis, já que temos sentidos possíveis de rotação em torno de eixos! Vamos ver um exemplo:
Temos , tal que . Onde é o vetor rotacionado de graus em torno do eixo .
Para encontrarmos a matriz que representa precisamos descobrir quanto vale , e . Bom, como a rotação é em torno de , os vetores que estão no eixo permanecem inalterados:
Já para os vetores e , teremos:
Logo, teremos:
Portanto,
Se quiséssemos rodar para o outro lado:
Analogamente, podemos achar a matriz de rotação em torno do eixo :
E em torno do eixo :
É claro que não vamos gravar todas essas matrizes né! Se olharmos com atenção podemos ver um padrão nas rotações do . Fora que elas são construídas usando a matriz rotação do ! Então, gravando a do , praticamente já temos as do prontas.
Você pode também deduzir na hora a matriz como fizemos aqui haha xD
Rotação fora da Origem
Bom, até aqui vimos como girar vetores em tornos dos eixos coordenados certo? Bom e se quisermos girá-los em torno de um eixo deslocado?
Po como assim? Vou te dar um exemplo prático pra ficar melhor de entender:
Os pontos , e são vértices de um triângulo equilátero. Determinar o vértice , utilizando a matriz rotação.
Sabemos que um triângulo equilátero possui os lados iguais e os ângulos de . Então, temos duas opções para continuar o problema:
Podemos rodar em torno de no sentido horário ou no sentido anti-horário. Vamos usar o sentido trigonométrico e girar o vetor no sentido anti-horário.
Bom, temos um problema então, pois não sabemos fazer isso! Bom, vamos aprender né. Se liga, que é mais fácil do que aparenta. Temos que:
E sabemos que:
Agora resolvemos o sistema:
Dessa igualdade, chegamos ao sistema:
Logo,
O ponto então é :