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Exercícios Resolvidos de Balanço Diferencial de Massa

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Exercício 12345678

Enunciado

Uma gotícula de água repousando em uma superífice plana, com formato semiesférico, evapora através de difusão molecular através do ar inerte ao seu redor. A gotícula inicialmente tem raio R. Conforme o líquido evapora lentamente, a gotícula encolhe com o tempo, mas o fluxo de vapor de água está em estado estacionário. A temperatura da gota e dos arredores é mantida constante. O ar contém vapor de água à uma infinida distância da superfície de gota.

  1. Selecione um sistema de coordenadas que melhor descreve esse processo de difusão. Liste pelo menos 5 hipóteses razoáveis para o processo de transferência de massa da evaporação da água e simplifique a equação diferencial geral em termos do fluxo N A .
  2. Qual é a forma simplificada e diferencial da equação de Fick para o vapor de água (espécie A)?

Passo 1

Vamos resolver então a letra a!

Para esse caso o melhor tipo de coordenadas são esféricas, já que estamos falando de uma meia esfera. Vamos agora simplificar a equalção geral.

Temos que:

∇ N A + d C A d t   - r A = 0

As hipóteses que podem ser assumidas:

  1. Estado estacionário d C A d t   = 0
  2. Sem reação homogênea ( r A = 0 )
  3. Coordenadas esféricas

    4. ∇ N A = 1 r ² ∂ ( r ² N A , r ) ∂ r + 1 r s e n θ ∂ ( s e n θ N A , θ ) ∂ θ + 1 r s e n θ ∂ N A , φ ∂ φ

  4. Fluxo unidimensional no eixo radial ∂ s e n θ N A , θ ∂ θ = 1 r s e n θ ∂ N A , φ ∂ φ = 0
  5. Espérie B (Ar) estagnada, não se mistura em A ( N B = 0 )
  6. Pressão e Temperatura constantes ( D A B = c t e ,   C = c t e )

A equação simplificada fica então:

1 r ² ∂ ( r ² N A , r ) ∂ r = 0

∂ ( r ² N A , r ) ∂ r = 0

Ou seja, r ² N A , r = c t e !

Passo 2

Pra letra b o problema quer que a gente encontre a equação de Fick diferencial e simplificada pra espécie A.

N A =   J A + y A ∑ i = A n N i

Abrindo aquele J A da Lei de Fick:

N A =   - D A M ∇ C A + y A ∑ i = A n N i

Agora vamos colocar em termos do nosso problema!

N A =   - C D H L ∇ y A + y A N A

Passo 3

Rearranjando os termos:

N A =   - C D H L ( 1 - y A ) d y A d r

N A d r =   - C D H L ( 1 - y A ) d y A

Como na letra (a) encontramos que r ² N A , r = c t e é constante, vamos multiplicar o termo da esquerda por r ² r ² para podermos conseguir integrar!

∫ r ² r ² N A d r =   ∫ - C D H L ( 1 - y A ) d y A

r ² N A ∫ 1 r ² d r =   ∫ - C D H L ( 1 - y A ) d y A

Integrando então ambos os lados:

N A , r =   C D A B r   l n 1 - y A R 1 - y A 0

Resposta

  1. ∂ ( r ² N A , r ) ∂ r = 0
  2. N A , r =   C D A B r   l n 1 - y A R 1 - y A 0

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