Exercícios Resolvidos de Balanço Diferencial de Massa

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Enunciado

A umidade em ar quente, úmido e estagnado ao redor de uma tubulação de água gelada difunde continuamente até a superfície fria onde ela condensa. A água condensada forma um filme líquido ao redor do cano, e então pinga continuamente no chão. A uma distância de 10 cm da superfície do cano, o teor de umidade do ar é constante. Perto do cano, o teor de umidade aproxima a pressão de vapor da água avaliada na temperatura do cano.

  1. Selecione um sistema de coordenadas que melhor descreve esse processo de difusão. Liste pelo menos 5 hipóteses razoáveis para o processo de transferência de massa da condensação da água.
  2. Qual é a forma simplificada da equação diferencial geral de transferência de massa em termos do fluxo de vapor d’água, N A ?
  3. Qual é a forma diferencial simplificada da equação de Fick para o vapor de água, N A ?
  4. Qual é a forma simplificada da equação diferencial geral de transferência de massa em termos da concentração de vapor d’água, C A ?

Passo 1

Vamos resolver então a letra a!

Para esse caso o melhor tipo de coordenadas são cilíndricas, já que estamos falando de uma tubulação!

As hipóteses que podem ser assumidas:

  1. Estado estacionário d C A d t   = 0
  2. Sem reação homogênea ( r A = 0 )
  3. Coordenadas esféricas
  4. ∇ N A = 1 r ∂ ( r N A , r ) ∂ r + 1 r ∂ N A , θ ∂ θ + ∂ N A , z ∂ z

  5. Fluxo unidimensional no eixo radial 1 r ∂ N A , θ ∂ θ = ∂ N A , z ∂ z = 0
  6. Espérie B (Ar) estagnada, não se mistura em A ( N B = 0 )
  7. Pressão e Temperatura constantes ( D A B = c t e ,   C = c t e )

Passo 2

Letra b, vamos simplificar a equalção geral.

Temos que:

∇ N A + d C A d t   - r A = 0

A equação simplificada fica então:

1 r ∂ ( r N A , r ) ∂ r = 0

∂ ( r N A , r ) ∂ r = 0

Ou seja, r N A , r = c t e !

Passo 3

Pra letra c o problema quer que a gente encontre a equação de Fick diferencial e simplificada pra espécie A.

N A =   J A + y A ∑ i = A n N i

Abrindo aquele J A da Lei de Fick:

N A =   - D A M ∇ C A + y A ∑ i = A n N i

Agora vamos colocar em termos do nosso problema!

N A =   - C D H L ∇ y A + y A N A

Rearranjando os termos:

N A =   - C D H L ( 1 - y A ) d y A d r

N A d r =   - C D H L ( 1 - y A ) d y A

Como na letra (a) encontramos que r N A , r = c t e é constante, vamos multiplicar o termo da esquerda por r r para podermos conseguir integrar!

∫ r r N A d r =   ∫ - C D H L ( 1 - y A ) d y A

r N A ∫ 1 r d r =   ∫ - C D H L ( 1 - y A ) d y A

Integrando então ambos os lados:

N A , r =   C D A B r   l n R + 10 R   l n 1 - y A r 1 - y A v

Passo 4

Agora pra letra (d) só precisamos passar os termos em função da fração molar pra concentração!

y A = C A C

Logo,

N A , r =   C D A B r   l n R + 10 R   l n 1 - C A C 1 - C A V C

Resposta

  1. Coordenadas cilíndricas
  2. ∂ r N A , r ∂ r = 0
  3. N A , r =   C D A B r   l n R + 10 R   l n 1 - y A r 1 - y A v
  4. N A , r =   C D A B r   l n R + 10 R   l n 1 - C A C 1 - C A V C

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