Sistema de EDO de dimensão 2 – Não Homogêneo
Considere a matriz . Ache a solução geral do sistema
Onde
Passo 1
Agora temos um sistema não homogêneo, isso porque temos funções de alí.
Lembra do passo a passo? Primeiro vamos encontrar
Passo 2
Agora temos que resolver o sistema homogêneo equivalente que é
Para isso começamos achando a matriz
Passo 3
Agora temos que achar o autovalores de .
Lembra é só fazer
Esse é o caso de autovalores complexos, vamos agora fazer o cálculo funcional
Passo 4
Como temos autovalores complexos o sistema para achar e vai ser
Com
Isso nos diz que
Com os nossos valores vai ficar
Você deve estar pensando nesse maldito , relaxa, vamos fazer o temos feito, começar subtraindo a primeira equação da segunda
O valor de vai ser
Passo 5
A nossa solução vai ser
Substituindo os valores que temos
Passo 6
Vamos supor que a solução particular sejam dois polinômios de grau que nem
Então
Onde e são vetores
Podemos fazer
Assim fica mais fácil fazer as contas ali na frente.
Repara que nenhuma dessas paradas está na solução da parte homogênea.
Agora temos que cálculo a derivada dessa parada
Passo 7
A derivada vai ficar
Passo 8
Agora temos que substituir e no sistema.
Isso nos diz que
Pela última equação temos que
Substituindo na segunda equação vamos ter
Então
Vamos agora para e , temos as duas equações que não usamos
Substituindo os valores de e
Vamos multiplicar a segunda por
Somando com a primeira
Assim, o valor de vai ser
Então
A solução particular vai ser
Passo 9
A solução geral vai ser