Considere o sistema de equações diferenciais:
Qual o
Passo 1
Para calcularmos temos que primeiro calcular . Vamos utilizar o método do cálculo funcional para fazer isso. Escrevendo o nosso sistema na forma matricial.
Para acharmos a solução geral temos que calcular a solução homogênea e a solução geral. Pelo nosso sistema podemos facilmente identificar a matriz dos coeficientes do sistema e o vetor .
Passo 2
Vamos resolver o sistema homogêneo associado. Para isso vamos achar os autovalores da matriz
Resolvendo a equação do segundo grau achamos que
Passo 3
Como os autovalores são complexos vamos utilizar a nossa fórmula do cálculo funcional para calcular a solução da parte homogênea.
Analisando a parte real do sistema temos que.
Analisando a parte imaginária do sistema temos que.
Sendo assim temos.
Passo 4
A solução do sistema homogêneo será dada por.
Vamos deixar esse vetor de constantes do jeito que ele está e vamos substituir ele só quando formos utilizar o valor inicial que foi dado.
Passo 5
A solução geral do sistema é dada por
Agora para achar a solução particular, supomos que essa solução seja da forma
Passo 6
Portanto agora só a gente substituir esse chute no nosso sistema de equações diferenciais.
E ficamos com
Portanto, ficamos com
Resolvendo esse sisteminha, achamos
Então, a solução particular é dada por
E a solução geral fica:
Passo 7
Usando a condição inicial , vamos achar as constantes e .
Bom,
Ai a solução fica
Passo 8
Para calcular o temos que calcular o limite em cada uma das linhas da matriz
Então
E
Logo,