Sistema de EDO de Dimensão 2 – Não homogêneo
Considere o sistema de equações diferenciais:
a) Escreva o sistema na forma matricial e determine .
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Determine a condição inicial do sistema pela condição inicial
d) Qual o
Passo 1
a) Queremos escrever o sistema acima na forma:
Primeiro repare que conseguimos facilmente o e o olhando para o sistema.
Se então .
E
Agora só nos falta achar a matriz .
Bom, pelo sistema:
Vemos que
Então,
E portanto, podemos escrever o sistema como
Passo 2
Agora, ainda temos que determinar o .
Para isso vamos achar os autovalores da matriz
Resolvendo a equação do segundo grau achamos que
Passo 3
Como os autovalores são complexos com parte real não nula, temos que
Mas como A é diagonalizável temos que:
Lembrando que
Temos
Fazenda a primeira equação menos a segunda, achamos que
E portanto,
Passo 4
Acabamos de achar o e o , daí só jogar os valores na fórmula:
Então,
Passo 5
b) A solução geral do sistema é dada por
Onde é a solução homogênea do sistema e é a solução particular.
Bom, como descobrimos na letra (a) , fica fácil achar a solução homogênea, é só fazer
Agora para achar a solução particular, supomos que essa solução seja da forma
Passo 6
Portanto agora só a gente substituir esse chute no nosso sistema de equações diferenciais.
E ficamos com
Portanto, ficamos com
Resolvendo esse sisteminha, achamos
Então, a solução particular é dada por
E a solução geral fica:
Passo 7
c) Usando a condição inicial , vamos achar as constantes e .
Bom,
Ai a solução fica
Passo 8
d) Para calcular o temos que calcular o limite em cada uma das linhas da matriz
Então
E
Logo,
Resposta
a)
b)
c)
d)