Considere o sistema
a) Determine a solução geral do sistema.
b) Determine a solução do sistema com condição inicial
Passo 1
a) Cara, isso é um sisteminha que tem a forma:
Onde
A solução dele tem é assim:
Tudo o que a gente precisa fazer é calcular .
Agora pensa comigo: a gente quer aplicar a função numa matriz. Podemos usar o cálculo funcional para isso! Segura na minha mão e vem!
Passo 2
Para calcular , a gente precisa começar achando os autovalores de :
Vamos usar a equação
Onde é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:
Calculando esse determinante:
Resolvendo essa equação grau:
Passo 3
Como a gente quer aplicar na matriz (considerado uma constante), a gente vai dizer que
E vamos definir o polinômio de grau (porque nossa matriz é ):
Como temos autovalores reais, e dois são iguais entre si, vamos resolver esse sistema:
Sendo
Aí
Como :
Substraindo a terceira equação pela segunda:
Substituindo na primeira:
Passo 4
Aí a gente substitui , e em :
Como , para achar , fazemos e multiplicamos a parte constante do polinômio pela matriz :
Passo 5
Fazendo essa multiplicação matricial:
Ficamos assim:
Daí finalmente temos:
Passo 6
E a nossa solução fica finalmente:
Sendo que é um vetor de constantes.
Ufa! Arrasamos!
Passo 7
b) Agora a gente vai usar a informação:
Na nossa solução:
Daí a gente tira que , para satisfazer essa equação, precisa ser:
Repara que a gente já podia ter substituído direto , porque essa é a definição de mesmo, tá? Valor de em .
Aí nossa solução é:
Fazendo essa multiplicação:
Prontinho!
Resposta
a)
b)