Encontre a solução geral do sistema de equação dado
Passo 1
Esse nosso sistema é não homogêneo, a primeira coisa que temos que fazer é determinar
Repara que temos
Beleza a próxima coisa que temos que fazer é resolver o sistema homogêneo, que vai ser
Passo 2
Vamos resolver esse sistema pelo cálculo funcional. A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz
Passo 3
Agora temos que achar o autovalores de .
Lembra é só fazer
Multiplicando por
Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora fazer o cálculo funcional
Passo 4
Como temos autovalores diferentes o sistema para achar e vai ser
Com os nossos valores vai ficar
Subtraindo as duas equações vamos ter
O valor de vai ser
Passo 5
A nossa solução da homogênea vai ser
Substituindo os valores que temos
Passo 6
Agora temos que achar a solução particular, lembra que vai ser
Vamos dar uma separada nessas duas funções porque elas são diferentes
A solução particular vai ser polinomial de maior grau que apareceu em , que vai ser de grau , além disso vamos ter uma parte exponencial também. Vamos ter
Repara que esse exponencial aparece na solução da homogênea, então temos que multiplicar esse cara por e ainda assim colocar um , e a solução particular na verdade vai ser
Vamos chamar esse vetor , , e da seguinte forma
Assim fica mais fácil fazer as contas ali na frente.
Repara que nenhuma dessas paradas está na solução da parte homogênea.
Agora temos que cálculo a derivada dessa parada
Passo 7
A derivada vai ficar
Passo 8
Agora vamos substituir e no sistema
Vamos primeiro listar as funções aqui para ajudar
Substituindo no sistema vamos ter
Vamos arrumar essas contas, primeiro vamos multiplicar todo mundo por para acabar com essa maldita fração
Dando mais uma arrumada, deixando tudo que é parecido junto
Isso nos diz que
Que sistema LINDO, só que não né? Nesse momento você para e respira fundo, essas contas são monstruosamente gigantes, mas temos que mostrar do exercício mais fácil para o mais difícil para você, provável que seu professor não queira atrapalhar a vida dos alunos com algo surreal como isso, mas se cair algo assim você vai estar preparado =D
Passo 9
É um algebrismo mostro, mas vamos que eu vou fazer cada pedacinho para você entender bem e eu tbm né rs.
Vamos arrumar todas as equações
Temos duas equações com e , isso nos diz que
Temos duas equações de e
Vamos ter
Substituindo na outra equação
Assim
Já achamos dois vamos ao resto.
As equações que sobraram foram
Temos o valor de e e pela primeira equação temos
Então vamos ter
Então
Faltam agora, mas se você se lembra do exemplo que vimos na teoria, um par desse caras não vão ser resolvidos, vai cair naquela situação onde podemos escolher os caras.
Isso nos diz que
Então
E
Agora vamos ter
Isso nos diz que
Esse é o cara que vai ficar na escolha do freguês, isso vai aparecer quando multiplicamos a solução particular por para ficar diferente da homogênea, aquele termo que somamos, que tem a cara da homogênea que vai ficar com esses caras que escolhemos o valor.
Vamos recapitular os valores que achamos
Assim nossa solução particular vai ficar
Vamos pegar o valor mais simples possível para , que é , então nossa solução particular vai ficar
Passo 10
A solução geral vai ser
Então
E não precisa arrumar essa bagunça n, está certinho.