Considere a matriz
Determine a solução do sistema .
Determine a solução do sistema
Passo 1
O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo cálculo funcional.
A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz
Passo 2
Agora temos que achar o autovalores de .
Lembra é só fazer
Esse é o caso de autovalores iguais, vamos agora fazer o cálculo funcional
Passo 3
Como temos autovalores iguais o sistema para achar e vai ser
Com os nossos valores vai ficar
Já temos de cara o valor de
O valor de vai ser
Passo 4
A nossa solução vai ser
Substituindo os valores que temos
Passo 5
Supondo que o valor inicial seja
Temos:
Passo 6
A solução vai ficar
Passo 7
Para resolver isso, basta notar que esse sistema é não homogêneo, mas a parte homogênea dele nós acabamos de fazer 😊 A solução geral é da forma:
E o nosso sistema é:
Sabendo que a nossa função envolve exponencial, nada mais justo que chutar uma função exponencial como solução particular:
Onde B é da forma:
Importante notar que a nossa particular não está presente na homogênea, então podemos prosseguir com ela.
Passo 8
Agora vamos derivar e substituir no nosso sistema:
Substituindo:
Então temos duas equações:
Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 9
A solução geral é dada por: