1. Determine se a afirmação seguinte é Falsa ou Verdadeira.
Afirmação: Sejam uma matriz de tamanho e uma função analítica. Então, sempre é possível calcular . Justifique.
2. Seja a matriz dada por
Calcule .
Passo 1
1. Cara, vamos entender o que ele está dizendo. Temos uma matriz quadrada e uma função . E ele quer saber se a gente sempre pode calcular .
Mas tem um detalhe bem importante: ele diz que é analítica. O que quer dizer que a gente pode escrever ela como um polinômio de Taylor.
Agora pensa comigo: o cálculo funcional diz que podemos dizer que é igual a um polinômio
Se a matriz é quadrada, o polinômio fica de grau 1:
E aí a gente fala que .
Percebe um padrão aqui? A gente diz que pode ser igual a um polinômio. Assim com o fazemos ao calcular o polinômio de Taylor!
Aí a ideia é que se for analítica, ou seja, a gente consegue escrever ela como um polinômio de Taylor, a gente também consegue escrever ela como um polinômio pelo cálculo funcional.
Isso porque é provado que o cálculo funcional pode ser aplicado a polinômios!
Então essa é verdadeira!
Passo 2
2. Queremos aplicar a função numa matriz. Isso é a dica para usarmos o cálculo funcional.
Para calcular , a gente precisa começar achando os autovalores de :
Vamos usar a equação
Onde é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:
Calculando esse determinante:
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Passo 3
Como a gente quer aplicar na matriz, a gente vai dizer que
E vamos definir o polinômio de grau (porque nossa matriz é ):
Como nossos dois autovalores são reais e iguais, vamos resolver esse sistema:
Calculando essas derivadas
Temos:
Substituindo na primeira:
Passo 4
Aí a gente substitui e em :
Para achar , fazemos e multiplicamos a parte constante pela matriz :
Daí finalmente temos:
Resposta
a) Verdade
b)