Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Não Homogêneo

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Enunciado

1. Determine se a afirmação seguinte é Falsa ou Verdadeira.

Afirmação: Sejam A uma matriz de tamanho 2 × 2 e f : R → R uma função analítica. Então, sempre é possível calcular f A . Justifique.

2. Seja A a matriz dada por

A = 3 - 1   0 3  

Calcule A 2019 .

Passo 1

1. Cara, vamos entender o que ele está dizendo. Temos uma matriz quadrada A e uma função f . E ele quer saber se a gente sempre pode calcular f A .

Mas tem um detalhe bem importante: ele diz que f é analítica. O que quer dizer que a gente pode escrever ela como um polinômio de Taylor.

f x = p n

Agora pensa comigo: o cálculo funcional diz que podemos dizer que f x é igual a um polinômio

f x = p x

Se a matriz é quadrada, o polinômio fica de grau 1:

f x = p x = a x + b

E aí a gente fala que f A = p A .

Percebe um padrão aqui? A gente diz que f x pode ser igual a um polinômio. Assim com o fazemos ao calcular o polinômio de Taylor!

Aí a ideia é que se f for analítica, ou seja, a gente consegue escrever ela como um polinômio de Taylor, a gente também consegue escrever ela como um polinômio pelo cálculo funcional.

Isso porque é provado que o cálculo funcional pode ser aplicado a polinômios!

Então essa é verdadeira!

Passo 2

2. Queremos aplicar a função x 2019 numa matriz. Isso é a dica para usarmos o cálculo funcional.

Para calcular A 2019 , a gente precisa começar achando os autovalores de A :

A = 3 - 1   0 3  

Vamos usar a equação

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

3 - 1   0 3   - λ 0 0 λ = 0

3 - λ - 1 0 3 - λ = 0

Calculando esse determinante:

3 - λ 3 - λ = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau:

λ = λ 1 = λ 2 = 3

Passo 3

Como a gente quer aplicar x 2019 na matriz, a gente vai dizer que

f x = x 2019

E vamos definir o polinômio p x de grau 1 (porque nossa matriz é 2 × 2 ):

f x = p x = a x + b

Como nossos dois autovalores são reais e iguais, vamos resolver esse sistema:

f λ = p λ f ' λ = p ' λ

Calculando essas derivadas

f ' x = 2019 x 2018 ,     p ' x = a

f 3 = p 3 f ' 3 = p ' 3 ∴ 3 2019 = 2019 a + b 2019 ⋅ 3 2018 = a

Temos:

a = 2019 ⋅ 3 2018

Substituindo na primeira:

3 2019 = 2019 2019 ⋅ 3 2018 + b ∴ b = 3 2019 - 2019 2 ⋅ 3 2018

Passo 4

Aí a gente substitui a e b em f x = p x :

f x = p x = a x + b

p x = 2019 ⋅ 3 2018 x + 3 2019 - 2019 2 ⋅ 3 2018

Para achar f A = A 2019 , fazemos x = A e multiplicamos a parte constante pela matriz I d :

f A = p A = 2019 ⋅ 3 2018 3 - 1   0 3   + ( 3 2019 - 2019 2 ⋅ 3 2018 ) 1 0   0 1  

p A = 2019 ⋅ 3 201 9 - 2019 ⋅ 3 2018   0 2019 ⋅ 3 2019   + 3 2019 - 2019 2 ⋅ 3 2018 0   0 3 2019 - 2019 2 ⋅ 3 2018  

p A = 2019 ⋅ 3 2019 + 3 2019 - 2019 2 ⋅ 3 2018 - 2019 ⋅ 3 2018   0 2019 ⋅ 3 2019 + 3 2019 - 2019 2 ⋅ 3 2018  

Daí finalmente temos:

A 2019 = 3 2018 2019 ⋅ 3 + 1 - 2019 - 2019 ⋅ 3 2018   0 3 2018 2019 ⋅ 3 + 1 - 2019  

A 2019 = 3 2018 2019 ⋅ 3 - 2018 - 2019 ⋅ 3 2018   0 3 2018 2019 ⋅ 3 - 2018  

Resposta

a) Verdade

b) A 2019 = 3 2018 2019 ⋅ 3 - 2018 - 2019 ⋅ 3 2018   0 3 2018 2019 ⋅ 3 - 2018