Sejam

e

a) Determine e .

b) Determine e decida se .

Como a gente quer aplicar na matriz, a gente vai dizer que

E vamos definir o polinômio de grau (porque nossa matriz é ):

Como nossos dois autovalores são reais e diferentes, vamos resolver esse sistema:

Substraindo a primeira equação da segunda:

Substituindo na primeira:

Aí a gente substitui e em :

Para achar , fazemos e multiplicamos a parte constante pela matriz :

Daí finalmente temos:

Para calcular , fazemos algo parecido. A gente precisa começar achando os autovalores de :

Vamos usar a equação

Onde é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

Calculando esse determinante:

Resolvendo essa equação de segundo grau:

Como a gente quer aplicar na matriz, a gente vai dizer que

E vamos definir o polinômio de grau (porque nossa matriz é ):

Como nossos dois autovalores são reais e diferentes, vamos resolver esse sistema:

Substraindo a primeira equação da segunda:

Substituindo na segunda:

Aí a gente substitui e em :

Para achar , fazemos e multiplicamos a parte constante pela matriz :

Daí finalmente temos:

b) Vamos começar calculando

Aí é o mesmo rolê de antes. Começamos pelo determinante:

Vamos usar a equação

Onde é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

Calculando esse determinante:

Como nossos dois autovalores são reais e diferentes, vamos resolver o sistema:

Substraindo a primeira equação da segunda:

Substituindo na primeira:

Aí a gente substitui e em :

Para achar , fazemos e multiplicamos a parte constante pela matriz :

Daí finalmente temos:

Mas será que isso é igual ?

Uma forma simples de fazer isso é ver se o termo da primeira linha e última coluna zera.

Como esse termo não zera, vemos que