Se no método da bissecção tomarmos sistematicamente x = a k + b k 2 , teremos que | x _ - ξ | ≤ b k - a k 2 .

Considerando este fato:

  1. estime o número de iterações que o método efetuará;
  2. escreva um novo algoritmo.

Passo 1

Dada uma precisão ϵ e um intervalo inicial [ a , b ] , é possível saber, quantas iterações serão efetuadas pelo método da bissecção até que se obtenha b - a < ϵ , usando o Algoritmo 1.

Sabemos que:

b k - a k = b k - 1 - a k - 1 2 = b 0 - a 0 2 k

Passo 2

Deve-se obter o valor de k tal que b k - a k < ϵ , ou seja,

b 0 - a 0 2 k < ϵ ⇒ 2 k > b 0 - a 0 ϵ ⇒ k l o g ( 2 ) > l o g ( b 0 - a 0 ) - l o g ( ϵ )   ⇒ k > l o g ( b 0 - a 0 ) - l o g ( ϵ ) l o g ( 2 )

Portanto se k satisfaz a relação acima, ao final da iteração k teremos o intervalo [ a , b ] que contém a raiz ϵ , tal que para todos os valores de x que estão entre a e b ⇒ | x - ϵ |   ≤   b - a < ϵ .

Pra ficar mais claro, se a gente tiver uma função qualquer que tem uma raiz que está no intervalo [ 2,3 ] e queremos achar essa raiz com precisão ϵ = 1 0 - 2 , ficaria assim:

k > l o g ( 3 - 2 ) - l o g ( 1 0 - 2 ) l o g ( 2 ) ≈ 6.64   ⇒ k = 7    

Então, teríamos que fazer , no mínimo, 7 iterações para chegar nesse valor de erro!

Passo 3

Nesse caso, teremos apenas algumas alterações em relação ao Algoritmo 1, descrito na página 43 do livro.

Vamos reescrever assim:

1)Dados iniciais:

  1. intervalo inicial [a,b]
  2. precisão ϵ

2)Se | x _ - ξ | ≤ b - a 2 , para qualquer x _   entre [ a , b ] . FIM

3) k = 1

4) M = f ( a )

5) x = a + b 2

6)Se M f ( x ) > 0 , faça a = x . Vá para o passo 8.

7) b = x

8)Se | x _ - ξ | ≤ b - a 2 , para qualquer x _   entre [ a , b ] . FIM

9) k = k + 1 . Volte para o passo 5.

Resposta

  1. k > l o g ( b 0 - a 0 ) - l o g ( ϵ ) l o g ( 2 )
  2. 1)Dados iniciais:
  1. intervalo inicial [a,b]
  2. precisão ϵ

2)Se | x _ - ξ | ≤ b - a 2 , para qualquer x _   entre [ a , b ] . FIM

3) k = 1

4) M = f ( a )

5) x = a + b 2

6)Se M f ( x ) > 0 , faça a = x . Vá para o passo 8.

7) b = x

8)Se | x _ - ξ | ≤ b - a 2 , para qualquer x _   entre [ a , b ] . FIM

9) k = k + 1 . Volte para o passo 5.

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