Teoria

A decomposição LU, também conhecida como fatoração LU é um método para resolução de sistemas lineares que vai facilitar muito a nossa vida!

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Resolução de Sistemas Lineares usando a Decomposição LU

Eu vou te explicar rapidinho o passo a passo do método de fatoração LU e depois a gente vai resolver alguns exercícios pra fixar, beleza?!

Então considera o seguinte sistema linear:

Concorda comigo que a gente pode escrever o sistema linear acima na forma de uma matriz quadrada :

Agora a gente vai usar o Método de Gauss , então calculamos os multiplicadores :

E chegamos na matriz , que é uma matriz triangular superior:

Agora a gente pega os multiplicadores que calculamos ali em cima e escrevemos a matriz :

Depois de fazermos isso, teremos duas matrizes triangulares tal que :

Ou seja, ideia na decomposição LU é fatorar a matriz A em um produto de matrizes LU, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Facilitando muito as contas! 🤩

Aplicações da fatoração LU

A fatoração LU tem várias aplicações pra a gente! Entre elas o cálculo de determinante, a inversa de uma matriz e a resolução de sistemas lineares. No vídeo abaixo você pode conferir como usar decomposição LU pra resolver esses problemas!

Algoritmo

Podemos dividir esse algoritmo em três fases bem distintas! Se liga:

Fase 1: Eliminação de Gauss

  • Dados iniciais: Definir a matriz quadrada
  • Definimos uma matriz com apenas na diagonal e atribuímos à variável .
  • Definimos
  • Percorremos as linhas de com uma variável (de a ).
  • Escolher pivô da i-ésima linha de e armazenar na variável . O pivô será sempre o i-ésimo número da i-ésima linha.
  • Para cada , percorremos as linhas de de até com uma variável .
  • Definimos o multiplicador .
  • Guardar na posição linha e coluna de .
  • Para cada , percorremos as colunas de de até com uma variável .

Pronto, tá feito o nosso algoritmo. Daí vamos tirar nossas matrizes e . Agora precisamos criar um algoritmo para a substituição simples.

Fase 2: Receber a matriz vinda da Fase e o vetor para resolver o sistema

  • Dados iniciais:
    • Matriz quadrada triangular
    • Vetor solução
  • Enquanto $j
  • Enquanto , repetimos os Passos ao . Quando , temos a nossa resposta que pode ser dada em forma de uma lista .


Para a Fase 3 teremos exatamente o mesmo algoritmo da retrosubstituição. Só iremos alterar as entradas.

Fase 3: Recebe o resultado da fase , o vetor , e a matriz da Fase

  • Dados iniciais:
    • Matriz quadrada triangular
    • Vetor solução
  • Enquanto $j
  • Enquanto , repetimos os Passos ao . Quando , temos a nossa resposta que pode ser dada em forma de uma lista .

Aplicações da fatoração LU

Algoritmo

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