Resolução de Sistemas Lineares usando a Decomposição LU
Eu vou te explicar rapidinho o passo a passo do método de fatoração LU e depois a gente vai resolver alguns exercícios pra fixar, beleza?!
Então considera o seguinte sistema linear:
Concorda comigo que a gente pode escrever o sistema linear acima na forma de uma matriz quadrada :
Agora a gente vai usar o Método de Gauss , então calculamos os multiplicadores :
E chegamos na matriz , que é uma matriz triangular superior:
Agora a gente pega os multiplicadores que calculamos ali em cima e escrevemos a matriz :
Depois de fazermos isso, teremos duas matrizes triangulares tal que :
Ou seja, ideia na decomposição LU é fatorar a matriz A em um produto de matrizes LU, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Facilitando muito as contas! 🤩
Aplicações da fatoração LU
A fatoração LU tem várias aplicações pra a gente! Entre elas o cálculo de determinante, a inversa de uma matriz e a resolução de sistemas lineares. No vídeo abaixo você pode conferir como usar decomposição LU pra resolver esses problemas!
Algoritmo
Podemos dividir esse algoritmo em três fases bem distintas! Se liga:
Fase 1: Eliminação de Gauss
Dados iniciais: Definir a matriz quadrada
Definimos uma matriz com apenas na diagonal e atribuímos à variável .
Definimos
Percorremos as linhas de com uma variável (de a ).
Escolher pivô da i-ésima linha de e armazenar na variável . O pivô será sempre o i-ésimo número da i-ésima linha.
Para cada , percorremos as linhas de de até com uma variável .
Definimos o multiplicador .
Guardar na posição linha e coluna de .
Para cada , percorremos as colunas de de até com uma variável .
Pronto, tá feito o nosso algoritmo. Daí vamos tirar nossas matrizes e . Agora precisamos criar um algoritmo para a substituição simples.
Fase 2: Receber a matriz vinda da Fase e o vetor para resolver o sistema
Dados iniciais:
Matriz quadrada triangular
Vetor solução
Enquanto $j
Enquanto , repetimos os Passos ao . Quando , temos a nossa resposta que pode ser dada em forma de uma lista .
Para a Fase 3 teremos exatamente o mesmo algoritmo da retrosubstituição. Só iremos alterar as entradas.
Fase 3: Recebe o resultado da fase , o vetor , e a matriz da Fase
Dados iniciais:
Matriz quadrada triangular
Vetor solução
Enquanto $j
Enquanto , repetimos os Passos ao . Quando , temos a nossa resposta que pode ser dada em forma de uma lista .