Método da Secante

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Opa, seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora bater aprender o Método da Secante?!

Método da Secante: Fórmula

O Método da Secante é um método iterativo usado pra encontrar zeros de funções reais. Ele é bem parecido com o Método de Newton-Rapson, mas com uma vantagem… aqui não tem derivada. Então se você pegar uma função cabulosa, difícil de derivar, o método da secante é o melhor caminho! 🤩

Ela tem essa carinha aqui:

Método da Secante
Método da Secante

É óbvio que nem tudo são flores…o Método de Newton tem a vantagem de convergir mais rápido! Ou seja, escolha suas batalhas meu caro!

Como podemos ver na fórmula a cima, no método da secante precisamos de dois chutes iniciais e para a raiz e de um erro máximo que vai definir o critério de parada. Mas antes da gente aprender a implementar esse método, vamos dar uma olhada na interpretação geométrica!

Temos os dois chutes iniciais e . Traçamos uma reta passando pelos pontos e . Onde essa reta cruza o eixo será o nosso . Assim:

Depois disso fazemos uma outra reta, ligando os pontos e e onde essa reta tocar o eixo temos o nosso . O próximo passo seria unir os pontos e pra formar uma reta, onde essa reta tocar o eixo é o e assim sucessivamente!

Repetimos esse processo até chegarmos a uma aproximação próxima o suficiente! 😉

📢 Clique para ver mais:

-Beleza, mas como a gente usa o método da secante na prática?! 😖

A gente vai aprender tudo tim tim por tim tim! Mas pra começar com tudo, se liga nesse vídeo aqui 👇

Critério de Parada

Para o método, os critérios de parada mais usados são:

  • Seja uma aproximação da raiz encontrada em alguma iteração, paramos se ;
  • Seja a aproximação da raiz na iteração , paramos se .

Pode-se usar vários critérios de uma vez ou apenas um, vai depender do problema que temos que resolver. Além disso, vários outros critérios podem ser usados, esses são só os mais comuns. É sempre recomendável adicionar um número máximo de iterações como critério de parada.

Convergência

Este método é uma aproximação do método de Newton, e tem condições de convergência muito similares! De forma geral, a maioria das vezes em que ele diverge ou demora para convergir é quando , a mesma situação na qual o método de Newton divergia.

Apesar de ele não ser tão rápido quanto o método de Newton e necessitar de uma aproximação inicial a mais, ele não precisa mais calcular o valor da derivada a cada iteração, podendo ganhar tempo em esforço computacional!

Método da Secante: Algoritmo

Vamos ver como fica o algoritmo do método da secante!

Passo 1: Dados iniciais

Esses são os dados que o programa vai receber de você

  • Aproximações iniciais e ;
  • Precisão do resultado final e

Passo 2: Definir um contador de iterações k=0

Esse passo é importante pra sabermos quantas vezes o programa rodou até ele interagir!

Passo 3: Verificamos o primeiro critério de parada

Nesse passo falamos para o programa: Se , escolha como e FIM. Caso contrário, continue para o Passo 4.

Passo 4: Aumentamos uma iteração no contador

Para isso fazemos .

Passo 5: Calculamos o x

Para isso usamos a fórmula do método da secante:

Passo 6: Verificamos o segundo critério de parada

Nessa etapa falamos para o programa: Se , escolha como e FIM. Caso contrário continue para o Passo 7.

Passo 7: Atualizamos o x

Para isso fazemos e .

Passo 8: Voltamos para o Passo

Prontinho, é isso! Agora vamos praticar com exercícios?!

Critério de Parada

Convergência

Método da Secante: Algoritmo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Seja f x = x 2 - 6 . Dados x - 1 = 3 e x 0 = 2 , encontre x 2 usando o método da secante.

Passo 1

Só aplicar o algoritmo:

x - 1 = 3

x 0 = 2

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 2.4

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 2 . 45 -

Resposta

x 2 = 2 . 45 -

Exercício Resolvido #2

Calcule a raiz real da equação x 3 - 2 x 2 + 2 x - 5 = 0 próxima de x 0 = 2 , por meio do método da secante. Considere ε = 10 - 5 .

Passo 1

Sabemos que a raiz está próxima de 2 , então temos nossa primeira aproximação. Vamos encontrar a segunda:

f 2.1 = - 0.36

f 1.9 = - 1.56

2.1 está mais próximo de zero então ele será nosso segundo chute.

Passo 2

x - 1 = 2

x 0 = 2.1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 2.156006

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.056006 > 10 - 5

f x 1 = 0.037186 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 2.1

x 1 = 2.156006

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 2.150749

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.005257 > 10 - 5

f x 2 = 0.001176 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 2.156006

x 2 = 2.150749

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 2.150911

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000161 > 10 - 5

f x 3 = - 6 , 14 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. x - = 2.150911 .

Resposta

x - = 2.150911

Exercício Resolvido #3

Use o método da secante para encontrar soluções com precisão 10 - 5 para os seguintes problemas:

a 3 x e x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2

b 2 x + 3 c o s x - e x = 0 para 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

a Intervalo 1,2

x - 1 = 1

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 0.7746

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 1.2254 > 10 - 5

f x 1 = 5.042009 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 2

x 1 = 0.7746

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 0.617357

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.157244 > 10 - 5

f x 2 = 3.433775 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.7746

x 2 = 0.617357

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 0.281622

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.335735 > 10 - 5

f x 3 = 1.119681 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.617357

x 3 = 0.281622

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 0.119176

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.162446 > 10 - 5

f x 4 = 0.402778 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 0.281622

x 4 = 0.119176

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 0.027908

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.091267 > 10 - 5

f x 5 = 0.086094 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 0.119176

x 5 = 0.027908

ε = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = x 4 f x 5 - x 5 f x 4 f x 5 - f x 4 = 0.003096

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 0.024812 > 10 - 5

f x 6 = 0.009317 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 5 = 0.027908

x 6 = 0.003096

ε = 10 - 5

Iteração 7 :

x 7 = g x 6 = x 5 f x 6 - x 6 f x 5 f x 6 - f x 5 = 8.5 ∙ 10 - 5

Critério de Parada:

x 7 - x 6 = 0.003011 > 10 - 5

f x 7 = 0.000255 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 6 = 0.003096

x 7 = 8.5 ∙ 10 - 5

ε = 10 - 5

Iteração 8 :

x 8 = g x 7 = x 6 f x 7 - x 7 f x 6 f x 7 - f x 6 = 2.6 ∙ 10 - 7

Critério de Parada:

x 8 - x 7 = 8.5 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 8 = 7.9 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. x - = 2.6 ∙ 10 - 7 . Claro que nós sabemos que o valor correto aqui é 0 né haha, então foi uma boa aproximação.

Passo 2

b Intervalo 0,1

x - 1 = 0

x 0 = 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 1.822531

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.822531 > 10 - 5

f x 1 = 3.289691 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 1

x 1 = 1.822531

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 1.177095

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.645436 > 10 - 5

f x 2 = 0.260085 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.822531

x 2 = 1.177095

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 1.224385

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.04729 > 10 - 5

f x 3 = 0.065272 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.177095

x 3 = 1.224385

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 1.240229

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.015845 > 10 - 5

f x 4 = 0.002208 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.224385

x 4 = 1.240229

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 1.239711

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.000518 > 10 - 5

f x 5 = 1.8 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 1.240229

x 5 = 1.239711

ε = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = x 4 f x 5 - x 5 f x 4 f x 5 - f x 4 = 1.239715

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 4.1 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 6 = 4.7 ∙ 10 - 9 < 10 - 5

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. x - = 1.239715 .

Resposta

a x - = 2.6 ∙ 10 - 7

b x - = 1.239715

Exercício Resolvido #4

Calcule 26 3 pelo método da Secante. Considere ε = 10 - 5 .

Passo 1

Uma forma de se calcular o valor de 26 3 é dessa forma:

26 3 3 = 26

26 3 3 - 26 = 0

x 3 - 26 = 0

Passo 2

Agora precisamos de dois chutes iniciais. 26 3 está em algum lugar entre   8 3 e   27 3 . Ou seja, está em algum lugar entre 2 e 3 . Como 26 é bem mais próximo de 27 que de 8 , vamos usar x - 1 = 3 e x 0 = 2.9 como aproximações iniciais.

Passo 3

x - 1 = 3

x 0 = 2.9

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 2.9617

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.0617 > 10 - 5

f x 1 = 0.020941 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 2.9

x 1 = 2.9617

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 2.962513

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.000813 > 10 - 5

f x 2 = 0.000448 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 2.9617

x 2 = 2.962513

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 2.962496

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 1.7 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 3 = 1.2 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. 26 3 = 2.962496 .

Resposta

26 3 = 2.962496 .

Exercício Resolvido #5

Use o Método da Secante para encontrar soluções com precisão de 10 - 5 para os seguintes problemas:

a e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 = 0 para 1 ≤ x ≤ 2

b 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 = 0 para 2 ≤ x ≤ 3 e 3 ≤ x ≤ 4

c x - 2 2 - ln ⁡ x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 e e ≤ x ≤ 4

d e x - 3 x 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 e 3 ≤ x ≤ 5

Passo 1

a Intervalo 1,2

x - 1 = 1

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 1.678308

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.321692 > 10 - 5

f x 1 = 0.545674 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 2

x 1 = 1.678308

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 1.808103

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.129794 > 10 - 5

f x 2 = 0.085739 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.678308

x 2 = 1.808103

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 1.832298

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.024196 > 10 - 5

f x 3 = 0.011985 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.808103

x 3 = 1.832298

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 1.829331

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.002967 > 10 - 5

f x 4 = 0.000215 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.832298

x 4 = 1.829331

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 1.829383

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 5.2 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 5 = 5.2 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.829383 .

Passo 2

b Intervalo 2,3

x - 1 = 2

x 0 = 3

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 2.35449

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.64551 > 10 - 5

f x 1 = 0.141717 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 3

x 1 = 2.35449

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 2.373149

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.018659 > 10 - 5

f x 2 = 0.021669 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 2.35449

x 2 = 2.373149

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 2.370674

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.002475 > 10 - 5

f x 3 = 0.000113 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 2.373149

x 3 = 2.370674

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 2.370687

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 1.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 4 = 8.5 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 2.370687 .

Passo 3

b Intervalo 3,4

x - 1 = 3

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 3.479699

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.520301 > 10 - 5

f x 1 = 3.238465 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 4

x 1 = 3.479699

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 3.680233

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.200534 > 10 - 5

f x 2 = 0.663661 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.479699

x 2 = 3.680233

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 3.73192

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.051688 > 10 - 5

f x 3 = 0.160911 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.680233

x 3 = 3.73192

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 3.721834

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.010087 > 10 - 5

f x 4 = 0.004547 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.73192

x 4 = 3.721834

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 3.722111

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.000277 > 10 - 5

f x 5 = 2.9 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 3.721834

x 5 = 3.722111

ε = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = x 4 f x 5 - x 5 f x 4 f x 5 - f x 4 = 3.722113

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 1.8 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 6 = 5.2 ∙ 10 - 9 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.722113 .

Passo 4

c Intervalo 1,2

x - 1 = 1

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 1.590616

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.409384 > 10 - 5

f x 1 = 0.296526 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 2

x 1 = 1.590616

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 1.284548

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.306068 > 10 - 5

f x 2 = 0.261465 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.590616

x 2 = 1.284548

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 1.427966

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.143418 > 10 - 5

f x 3 = 0.029028 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.284548

x 3 = 1.427966

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 1.413635

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.014331 > 10 - 5

f x 4 = 0.00234 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.427966

x 4 = 1.413635

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 1.412378

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.001256 > 10 - 5

f x 5 = 2.4 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 1.413635

x 5 = 1.412378

ε = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = x 4 f x 5 - x 5 f x 4 f x 5 - f x 4 = 1.412391

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 1.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 6 = 2 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.412391 .

Passo 5

c Intervalo e , 4

x - 1 = e

x 0 = 3

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 3.072072

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.072072 > 10 - 5

f x 1 = 0.026986 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 3

x 1 = 3.072072

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 3.056587

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.015486 > 10 - 5

f x 2 = 0.000924 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.072072

x 2 = 3.056586

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 3.057099

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000512 > 10 - 5

f x 3 = 8.1 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.057099 .

Passo 6

d Intervalo 0,1

x - 1 = 0

x 0 = 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 0.780203

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.219797 > 10 - 5

f x 1 = 0.355767 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 1

x 1 = 0.780203

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 0.902867

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.122664 > 10 - 5

f x 2 = 0.021159 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.780203

x 2 = 0.902867

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 0.910624

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.007757 > 10 - 5

f x 3 = 0.001834 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.902867

x 3 = 0.910624

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 0.910005

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.000619 > 10 - 5

f x 4 = 7.8 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 0.910004 .

Passo 7

d Intervalo 3,5

x - 1 = 3

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 3.511704

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.488296 > 10 - 5

f x 1 = 3.490878 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 4

x 1 = 3.511704

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 3.680658

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.168954 > 10 - 5

f x 2 = 0.969235 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.511704

x 2 = 3.680658

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 3.745599

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.06494 > 10 - 5

f x 3 = 0.245812 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.680658

x 3 = 3.745599

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 3.732461

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.013138 > 10 - 5

f x 4 = 0.011995 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.745599

x 4 = 3.732461

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 3.733072

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.000611 > 10 - 5

f x 5 = 0.000138 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 3.732461

x 5 = 3.733072

ε = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = x 4 f x 5 - x 5 f x 4 f x 5 - f x 4 = 3.733079

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 7.1 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 6 = 7.9 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.733079 .

Resposta

a Intervalo 1,2 : x - = 1.829383

b Intervalo 2,3 : x - = 2.370687

Intervalo 3,4 : x - = 3.722113

c Intervalo 1,2 : x - = 1.412391

Intervalo e , 4 : x - = 3.057099

d Intervalo 0,1 : x - = 0.910004

Intervalo 3,5 : x - = 3.733079

Exercício Resolvido #6

A recolha de energia solar através da focagem de um campo plano de espelhos numa central de recolha foi estudada por Vant-Hull 1976 . A equação para a concentração geométrica do fator C é dada por:

C = π ∙ h cos ⁡ A 2 ∙ F 0.5 ∙ π ∙ D 2 ∙ 1 + sin ⁡ A - 0.5 ∙ cos ⁡ A

em que A é o ângulo do campo, F é a cobertura da fração do campo com espelhos, D é o diâmetro do coletor e h é o comprimento do coletor. Considerando h = 300 , F = 0.8 e D = 14 , calcule o ângulo positivo A inferior a π 25 para o qual a concentração do fator C é 1200 . Utilize o método da secante com ε ≤ 10 - 5 .

Passo 1

Vamos começar botando valores nessa fórmula:

1200 = π ∙ 300 cos ⁡ A 2 ∙ 0.8 0.5 ∙ π ∙ 14 2 ∙ 1 + sin ⁡ A - 0.5 ∙ cos ⁡ A

π ∙ 300 cos ⁡ A 2 ∙ 0.8 0.5 ∙ π ∙ 14 2 ∙ 1 + sin ⁡ A - 0.5 ∙ cos ⁡ A - 1200 = 0

734.694 1 + sin ⁡ A - 0.5 ∙ cos ⁡ A cos 2 ⁡ A - 1200 = 0

Passo 2

Temos que π 25 ≅ 0.126 . Então vamos usar como aproximações iniciais algo entre 0 e 0.126 .

x - 1 = 0.04

x 0 = 0.08

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 0.111721

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.031722 > 10 - 5

f x 1 = 10.434547 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 0.08

x 1 = 0.111721

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 0.117139

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.005417 > 10 - 5

f x 2 = 0.823581 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.111721

x 2 = 0.117139

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 0.117603

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000464 > 10 - 5

f x 3 = 0.010597 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.117139

x 3 = 0.117603

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 0.117609

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 6.1 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 4 = 1.1 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. A = 0.117609 .

Resposta

A = 0.117609

Exercício Resolvido #7

Um certo equipamento de 20000 euros vai ser pago durante 6 anos. O pagamento anual é de 4000 euros. A relação entre o custo do equipamento P , o pagamento anual A , o número de anos n e a taxa de juros i é a seguinte:

A = P i 1 + i n 1 + i n - 1

Utilize o método da Secante para determinar a taxa de juros utilizada nos cálculos. O valor da taxa pertence ao intervalo 0.05,0 . 15 . Use ε = 10 - 5 .

Passo 1

Vamos começar botando valores nessa fórmula:

4000 = 20000 i 1 + i 6 1 + i 6 - 1

20000 i 1 + i 6 1 + i 6 - 1 - 4000 = 0

Passo 2

O valor da taxa está no intervalo 0.05,0 . 15 . Então é só escolhermos 2 números quaisquer nesse intervalo como aproximações iniciais.

x - 1 = 0.0 8

x 0 = 0 . 12

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 0.055749

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.064251 > 10 - 5

f x 1 = 13.082952 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 0 . 12

x 1 = 0.055749

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 0.054761

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.000987 > 10 - 5

f x 2 = 0.549487 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.055749

x 2 = 0.054761

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 0.054718

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 4.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 3 = 0.000396 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.054761

x 3 = 0.054718

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 0.054718

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 3.1 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

f x 4 = 1 . 2 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. i = 0.054718 . Ou seja, nossa taxa de juros é de 5.4718 % .

Resposta

Juros de 5.4718 %

Exercício Resolvido #8

Considere a função f x = x 2 2 + x ln ⁡ x - 1 . Obtenha seu ponto crítico com o auxílio do método da secante e precisão 10 - 5 . (Obs.: pontos críticos: x - | f ' x - = 0 )

Passo 1

Repare que o problema aqui não é encontrar o zero diretamente de f x . Ele está pedindo o zero de f ' x ! Então basta derivar, igualar a zero e aplicar nosso algoritmo:

f x = x 2 2 + x ln ⁡ x - 1

f ' x = x + ln ⁡ x

x + ln ⁡ x = 0

Passo 2

Agora precisamos de duas aproximações para a raiz:

f ' 0.5 = - 0.193

f ' 1 = 1

Temos uma raiz entre 0.5 e 1 . Como 0.5 parece estar mais próximo da raiz vamos usar como aproximações iniciais 0.5 e 0.6 .

Passo 3

x - 1 = 0.5

x 0 = 0.6

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 0.568414

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.031586 > 10 - 5

f x 1 = 0.003508 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 0 . 6

x 1 = 0.568414

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 0.56712

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.001294 > 10 - 5

f x 2 = 6.4 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.568414

x 2 = 0.56712

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 0.567143

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 2.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 3 = 4.5 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Beleza, chegamos ao nosso critério. O ponto crítico é x - = 0.567143

Resposta

x - = 0.567143

Exercício Resolvido #9

Um circuito R L C consiste em um resistor R , um indutor L e um capacitor C conectados em série com uma fonte de tensão alternada V . A amplitude da corrente i m é dada por:

i m = v m R 2 + ω L - 1 ω C 2

onde ω , a frequência angular, está relacionada à frequência f por ω = 2 π f . Determine f para um circuito com R = 140 Ω , L = 260 m H , C = 25 F , v m = 24 V e i m = 0.15 A , usando o método da secante com tolerância 10 - 8 . Use como critério de parada o valor de x k - x k - 1 .

Passo 1

Substituindo os valores:

0.15 = 24 140 2 + 2 π f ∙ 0.26 - 1 2 π f ∙ 25 2

24 19600 + 0.52 π f - 1 50 π f 2 - 0.15 = 0

Passo 2

Vamos encontrar o intervalo que contém a raiz agora.

f 10 = 0.02

f 30 = 0.012

f 45 = 0.00178

f 50 = - 0.0019

Beleza, temos uma raiz no intervalo 45 , 50 . Vamos usar como aproximações iniciais x - 1 = 50 e x 0 = 45 .

Passo 3

x - 1 = 50

x 0 = 45

ε =   10 - 8

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 47.396341189

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 2.396341189 >   10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 45

x 1 = 47.396341189

ε =   10 - 8

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 47.41596826

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.019627071 >   10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 47.396341189

x 2 = 47.41596826

ε =   10 - 8

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 47.415808644

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000159617 >   10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 47.396341189

x 3 = 47.415808644

ε = 10 - 8

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 47.415808653

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 9.7 ∙ 10 - 9 < 10 - 8

Pronto, chegamos ao nosso critério de parada. A frequência do circuito é de 47.415808653   H z .

Resposta

f = 47.415808653   H z

Exercício Resolvido #10

Use o método da secante para obter o ponto sobre a curva y = 1 x mais próximo do ponto x , y = 2,1 com precisão de 10 - 5 .

Passo 1

Essa questão é bem elaborada, vem comigo. Primeira coisa, como calculamos a distância entre dois pontos? Assim oh:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Temos x 0 , y 0 = 2,1 e y = 1 x . Substituindo:

d x = x - 2 2 + 1 x - 1 2 = x 4 - 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x + 1 x 2

Queremos minimizar essa distância, certo? E o que fazemos quando queremos achar o máximo ou mínimo de algo? Derivamos e igualamos a zero né??

Po, mas essa raiz aí ta ferrando a gente! Calma, nem tudo tá perdido haha. Tem uma sacada muito boa que podemos ter aqui. Pensa comigo, o mínimo dessa função d x também não é igual ao mínimo de d 2 x ? Se pegarmos todos os valores possíveis de d x e elevarmos ao quadrado, o x que nos dá o mínimo de d x será o mesmo que nos dará o mínimo de d 2 x ! Então podemos derivar o quadrado de d , que é bem mais fácil:

d 2 x = x 4 - 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x + 1 x 2

d 2 ' x = f x = 2 x 4 - 2 x 3 + x - 1 x 3 = 0

Passo 2

Agora precisamos achar nossas aproximações iniciais:

f 1 = - 2

f 2 = 0.25

Temos uma raiz no intervalo 1,2 . Como f 2 está bem mais próximo do 0 vamos usar como chutes x - 1 = 2 e x 0 = 1.9 .

Passo 3

x - 1 = 2

x 0 = 1.9

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 1.866717

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.033283 > 10 - 5

f x 1 = 8.1 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 1.9

x 1 = 1.866717

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 1.86676

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 4.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 2 = 4.5 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Beleza, chegamos ao nosso critério. O valor de x que minimiza a distância é x - = 1.86676 .

O ponto sobre a reta y = 1 x será então:

x , y = 1.86676 , 0.535688

Resposta

x , y = 1.86676 , 0.535688

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das equações:b) l o g l o g𝑥− c o s c o s𝑥= 0
Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das equações:c) 𝑒 − 𝑥 − l o g l o g𝑥= 0
Usando o método iterativo linear determinar a solução de:Próxima a 0.5,0.5 .
A equação: 𝑥 − 2 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 = 0 possui uma raiz no intervalo 1.8 ,   2.0   . Determiná-la pelo método regula falsi, com duas casas decimais corretas.
Considere a equação 𝑥 − c o s c o s𝑥= 0 . Obtenha a raiz positiva com cinco casas decimais corretas. Confirme que a ordem de convergência do método regula falsi é 𝑝 ≈ 1.6818   .