Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais
Produzido por Bruno NeresTeoria
Derivadas de funções definidas por integral
Lembra do Teorema Fundamental do Cálculo – parte 1? Aquela que a gente aprende láaaa em cálculo de uma variável, mas usa tão pouco que esquece? Então, essa mesma!
Hahah, relaxa que eu vou te lembrar.
O Teorema Fundamental do Cálculo – parte 1 diz que:
Se é uma função contínua em e
Ou seja, para derivar a função , basta substituir a variável que é a variável independente da função por .
Mas, pode ser que o limite superior da integral seja uma função de , e não apenas .
Nesse caso, basta substituir por uma variável diferente e usar a regra da cadeia e o teorema fica assim:
Então
Entendeu? A derivada da função “de fora” (que é fazer a derivada normal, como se não fosse uma função) no ponto da função de dentro, vezes a derivada da função de dentro (pela regra da cadeia).
Por exemplo:
Beleza, lembrou disso então?
Agora vamos ao que interessa!
Se temos uma função
E quisermos calcular as derivadas parciais dela, já que é uma função de duas variáveis, temos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo, com regra da cadeia, que eu falei ali em cima.
Atenção que pra usar o TFC, a integral tem que ir de uma constante até a variável!
Temos:
Então fica assim:
Sacou?
Reta tangente
Lembra da reta tangente?
O que precisamos para calcular uma reta tangente?
Precisamos de:
- um ponto
- um vetor na direção da reta
Para podermos substituir na equação da reta:
Beleza, agora vamos ver como a gente encontra esse vetor .
O objetivo aqui é calcular a reta tangente a uma curva que está contida no gráfico de uma função.
Oi? Mas como assim?
É simples. Teremos uma curva
Que pertence ao gráfico de uma função
Isso quer dizer que
Viu o que fizemos? A curva pega sempre o valor de um , e, com ele, forma um ponto de coordenadas. Já a superfície , com dois pontos dados (ou seja, o valor da primeira e segunda coordenada de ), gera um terceiro valor, que dará a coordenada do ponto.
O vetor será um vetor tangente a essa curva no ponto de tangencia. Para descobrí-lo, basta derivar a curva:
Para calcular vamos ter que usar a regra da cadeia:
Além disso, o ponto será o ponto de tangencia, que pertence a curva e a reta:
Então vamos determinar a reta tangente no ponto a nossa curva
Que está contida no gráfico da função
Sabendo que
Vamos lá, primeiro vamos descobrir quem é o correspondente ao ponto :
OBS: Repare também que poderia ser dado no problema assim:
Bem, sem mais delongas concluímos que é a única solução.
Ok, agora vamos calcular o vetor normal.
Nosso vetor será
Vamos determinar num ponto qualquer, depois a gente substitui pelo
Precisamos do gradiente de , que é a mesma coisa que o gradiente de no ponto de tangencia. Isso já foi dado pra gente (eba!):
Beleza, agora vamos calcular o que falta:
E
Substituindo em , teremos:
Show, vamos substituir no nosso vetor e depois na equação da reta.
Equação da reta
Essa é a nossa reta tangente
É só isso!