Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

Produzido por Bruno Neres
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Teoria

Regra da Cadeia Caso 2 Parâmetros

Hey, galerinha! Pensa numa função de duas variáveis, onde cada variável depende outras duas. Complicado imaginar? Então olhar o exemplo abaixo,

f = f x , y = x 2 + x y                           x = x u , v = u sen ⁡ v y = y u , v = u v

Repara que temos uma f que depende de x e y , porém cada uma dessas variáveis depende de outras variáveis, no caso u e v .

Então, galerinha, agora eu te pergunto: como a gente deriva isso?

A gente poderia substituir o x e y na expressão de f e calcular as derivadas parciais em relação a u e v , normalmente. Fica assim,

f = u sen ⁡ v 2 + u sen ⁡ v u v

Repara que isso pode ser muito trabalhoso. Além disso, pode ser que o problema nem te de a expressão de f .

E aí, como a gente faz? Vamos aproveitar e tentar achar a derivada no ponto u , v = ( 1,0 ) .

Para isso usamos a regra da cadeia!

Aplicando a regra da cadeia para este caso, teríamos que fazer o somatório da derivada parcial para variável x e y em função de   u   e também para v . Fica assim,

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

E

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Como queremos a derivada no ponto u , v = ( 1,0 ) , é legal que a gente saiba o ponto ( x , y ) correspondente. Então vamos substituir na fórmula:

x u , v = u sen ⁡ v ⇒ x 1,0 = 0

y u , v = u v ⇒ y 1,0 = 0

Logo, x , y = ( 0,0 ) quando u , v = ( 1,0 )

Então, galerinha, agora para resolver esse problema, nós vamos usar gradiente de f .

Calculando o nosso gradiente e substituímos no ponto x , y = ( 0,0 ) :

f x , y = x 2 + x y

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 2 x + y , x

⇒ ∇ f 0,0 = ( 0,0 )

Fazemos o mesmo para o gradiente de x :

x u , v = u sen ⁡ v

∇ x u , v = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v = sen ⁡ v ,   u cos ⁡ v

⇒   ∇ x 1,0 = 0 ,   1

E também para o gradiente de y :

y u , v = u v

∇ y u , v = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v = ( v , u )

⇒   ∇ y 1,0 = ( 0,1 )

Agora é só substituir nas formulas:

∂ f ∂ u 1,0 = ∂ f ∂ x 0,0 ∂ x ∂ u 1,0 + ∂ f ∂ y 0,0 ∂ y ∂ u 1,0 = 0.0 + 0.0 = 0

E

∂ f ∂ v 1,0 = ∂ f ∂ x 0,0 ∂ x ∂ v 1,0 + ∂ f ∂ y 0,0 ∂ y ∂ v 1,0 = 0.1 + 0.1 = 0

Tuuudo isso pra dar zero no final ¬¬

Mas enfim, resumindo tudo, para o caso 2 da Regra da Cadeia, o passo a passo é:

  1. Descobrimos o ponto x 0 , y 0 correspondente a u 0 , v 0
  2. Calculamos o gradiente de f :
  3. Calculamos o gradiente de f no ponto x 0 , y 0
  4. Calculamos o gradiente de x
  5. Calculamos o gradiente de y
  6. Calculamos os gradientes de x e y no ponto u 0 , v 0
  7. Substituímos nas formulas

∂ f ∂ u u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ u u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ u u 0 , v 0

E

∂ f ∂ v u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ v u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ v u 0 , v 0

Regra da Cadeia Caso 3 parâmetros

Agora, galera, e se a gente tiver a mesma situação, só que com 3 variáveis? Segue o exemplo,

f = f x , y , z = x 2 + x y z + y                           x = x u , v , w = u 2 + v y = y u , v , w = v + w 2 z = z u , v , w = u + v + w

E como a gente resolve agora? Então, é bem parecido com o caso anterior. A diferença é só que temos mais uma variável.

Assim, para este caso, a regra da cadeia é:

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ u

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

E

∂ f ∂ w = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ w + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ w

Então vamos calcular para o ponto u , v , w = ( 0,1 , 0 ) .

A gente começa descobrindo os correspondentes x 0 , y 0 , z o .

x 0,1 , 0 = 0 2 + 1 = 1 y 0,1 , 0 = 1 + w 0 2 = 1 z 0,1 , 0 = 0 + 1 + 0 = 1

Então temos que x 0 , y 0 , z o = 1,1 , 1

Calculando o nosso gradiente e substituímos no ponto:

f x , y , z = x 2 + x y z + y

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 2 x + y z ,   x z + 1 , x y

⇒ ∇ f 1,1 , 1 = ( 3,2 , 1 )

Fazemos o mesmo para o gradiente de x :

x u , v , w = u 2 + v

∇ x u , v , w = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v , ∂ x ∂ w = 2 u , 1,0

⇒   ∇ x 0,1 , 0 = 0 ,   1,0

E também para o gradiente de y :

y u , v , w = v + w 2

∇ y u , v , w = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v ,   ∂ y ∂ w = ( 0,1 , 2 w )

⇒   ∇ y 0,1 , 0 = ( 0,1 , 0 )

Por fim, para o gradiente de z :

z u , v , w = u + v + w

∇ z u , v , w = ∂ z ∂ u , ∂ z ∂ v ,   ∂ z ∂ w = ( 1,1 , 1 )

⇒   ∇ z 0,1 , 0 = ( 1,1 , 1 )

Agora é só substituir nas formulas. Começamos por ∂ f ∂ u

∂ f ∂ u ( 0,1 , 0 ) = ∂ f ∂ x 1,1 , 1 ∂ x ∂ u 0,1 , 0 + ∂ f ∂ y 1,1 , 1 ∂ y ∂ u 0,1 , 0 + ∂ f ∂ z 1,1 , 1 ∂ z ∂ u 0,1 , 0

∂ f ∂ u 0,1 , 0 = 3.0 + 2.0 + 1.1 = 1

Agora, ∂ f ∂ v

∂ f ∂ v 0,1 , 0 = ∂ f ∂ x 1,1 , 1 ∂ x ∂ v 0,1 , 0 + ∂ f ∂ y 1,1 , 1 ∂ y ∂ v 0,1 , 0 + ∂ f ∂ z 1,1 , 1 ∂ z ∂ v 0,1 , 0

∂ f ∂ v 0,1 , 0 = 3.1 + 2.1 + 1.1 = 6

Por fim, ∂ f ∂ w

∂ f ∂ w 0,1 , 0 = ∂ f ∂ x 1,1 , 1 ∂ x ∂ w 0,1 , 0 + ∂ f ∂ y 1,1 , 1 ∂ y ∂ w 0,1 , 0 + ∂ f ∂ z 1,1 , 1 ∂ z ∂ w 0,1 , 0

∂ f ∂ w 0,1 , 0 = 3.0 + 2.0 + 1.1 = 1

Pronto! Então temos que f ' 1,0 , 1 = 1,6 , 1

Nosso passo a passo será o mesmo, mas agora, os gradientes terão uma componente a mais, referente a variável z . Beleza!?

Então partiu exercícios!

Regra da Cadeia Caso 3 parâmetros

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