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Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Teoria

Regra da Cadeia Caso 2 Parâmetros

Hey, galerinha! Pensa numa função de duas variáveis, onde cada variável depende outras duas. Complicado imaginar? Então olhar o exemplo abaixo,

f = f x , y = x 2 + x y                           x = x u , v = u sen ⁡ v y = y u , v = u v

Repara que temos uma f que depende de x e y , porém cada uma dessas variáveis depende de outras variáveis, no caso u e v .

Então, galerinha, agora eu te pergunto: como a gente deriva isso?

A gente poderia substituir o x e y na expressão de f e calcular as derivadas parciais em relação a u e v , normalmente. Fica assim,

f = u sen ⁡ v 2 + u sen ⁡ v u v

Repara que isso pode ser muito trabalhoso. Além disso, pode ser que o problema nem te de a expressão de f .

E aí, como a gente faz? Vamos aproveitar e tentar achar a derivada no ponto u , v = ( 1,0 ) .

Para isso usamos a regra da cadeia!

Aplicando a regra da cadeia para este caso, teríamos que fazer o somatório da derivada parcial para variável x e y em função de   u   e também para v . Fica assim,

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

E

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Como queremos a derivada no ponto u , v = ( 1,0 ) , é legal que a gente saiba o ponto ( x , y ) correspondente. Então vamos substituir na fórmula:

x u , v = u sen ⁡ v ⇒ x 1,0 = 0

y u , v = u v ⇒ y 1,0 = 0

Logo, x , y = ( 0,0 ) quando u , v = ( 1,0 )

Então, galerinha, agora para resolver esse problema, nós vamos usar gradiente de f .

Calculando o nosso gradiente e substituímos no ponto x , y = ( 0,0 ) :

f x , y = x 2 + x y

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 2 x + y , x

⇒ ∇ f 0,0 = ( 0,0 )

Fazemos o mesmo para o gradiente de x :

x u , v = u sen ⁡ v

∇ x u , v = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v = sen ⁡ v ,   u cos ⁡ v

⇒   ∇ x 1,0 = 0 ,   1

E também para o gradiente de y :

y u , v = u v

∇ y u , v = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v = ( v , u )

⇒   ∇ y 1,0 = ( 0,1 )

Agora é só substituir nas formulas:

∂ f ∂ u 1,0 = ∂ f ∂ x 0,0 ∂ x ∂ u 1,0 + ∂ f ∂ y 0,0 ∂ y ∂ u 1,0 = 0.0 + 0.0 = 0

E

∂ f ∂ v 1,0 = ∂ f ∂ x 0,0 ∂ x ∂ v 1,0 + ∂ f ∂ y 0,0 ∂ y ∂ v 1,0 = 0.1 + 0.1 = 0

Tuuudo isso pra dar zero no final ¬¬

Mas enfim, resumindo tudo, para o caso 2 da Regra da Cadeia, o passo a passo é:

  1. Descobrimos o ponto x 0 , y 0 correspondente a u 0 , v 0
  2. Calculamos o gradiente de f :
  3. Calculamos o gradiente de f no ponto x 0 , y 0
  4. Calculamos o gradiente de x
  5. Calculamos o gradiente de y
  6. Calculamos os gradientes de x e y no ponto u 0 , v 0
  7. Substituímos nas formulas

∂ f ∂ u u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ u u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ u u 0 , v 0

E

∂ f ∂ v u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ v u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ v u 0 , v 0

Regra da Cadeia Caso 3 parâmetros

Agora, galera, e se a gente tiver a mesma situação, só que com 3 variáveis? Segue o exemplo,

f = f x , y , z = x 2 + x y z + y                           x = x u , v , w = u 2 + v y = y u , v , w = v + w 2 z = z u , v , w = u + v + w

E como a gente resolve agora? Então, é bem parecido com o caso anterior. A diferença é só que temos mais uma variável.

Assim, para este caso, a regra da cadeia é:

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ u

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

E

∂ f ∂ w = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ w + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ w

Então vamos calcular para o ponto u , v , w = ( 0,1 , 0 ) .

A gente começa descobrindo os correspondentes x 0 , y 0 , z o .

x 0,1 , 0 = 0 2 + 1 = 1 y 0,1 , 0 = 1 + w 0 2 = 1 z 0,1 , 0 = 0 + 1 + 0 = 1

Então temos que x 0 , y 0 , z o = 1,1 , 1

Calculando o nosso gradiente e substituímos no ponto:

f x , y , z = x 2 + x y z + y

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 2 x + y z ,   x z + 1 , x y

⇒ ∇ f 1,1 , 1 = ( 3,2 , 1 )

Fazemos o mesmo para o gradiente de x :

x u , v , w = u 2 + v

∇ x u , v , w = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v , ∂ x ∂ w = 2 u , 1,0

⇒   ∇ x 0,1 , 0 = 0 ,   1,0

E também para o gradiente de y :

y u , v , w = v + w 2

∇ y u , v , w = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v ,   ∂ y ∂ w = ( 0,1 , 2 w )

⇒   ∇ y 0,1 , 0 = ( 0,1 , 0 )

Por fim, para o gradiente de z :

z u , v , w = u + v + w

∇ z u , v , w = ∂ z ∂ u , ∂ z ∂ v ,   ∂ z ∂ w = ( 1,1 , 1 )

⇒   ∇ z 0,1 , 0 = ( 1,1 , 1 )

Agora é só substituir nas formulas. Começamos por ∂ f ∂ u

∂ f ∂ u ( 0,1 , 0 ) = ∂ f ∂ x 1,1 , 1 ∂ x ∂ u 0,1 , 0 + ∂ f ∂ y 1,1 , 1 ∂ y ∂ u 0,1 , 0 + ∂ f ∂ z 1,1 , 1 ∂ z ∂ u 0,1 , 0

∂ f ∂ u 0,1 , 0 = 3.0 + 2.0 + 1.1 = 1

Agora, ∂ f ∂ v

∂ f ∂ v 0,1 , 0 = ∂ f ∂ x 1,1 , 1 ∂ x ∂ v 0,1 , 0 + ∂ f ∂ y 1,1 , 1 ∂ y ∂ v 0,1 , 0 + ∂ f ∂ z 1,1 , 1 ∂ z ∂ v 0,1 , 0

∂ f ∂ v 0,1 , 0 = 3.1 + 2.1 + 1.1 = 6

Por fim, ∂ f ∂ w

∂ f ∂ w 0,1 , 0 = ∂ f ∂ x 1,1 , 1 ∂ x ∂ w 0,1 , 0 + ∂ f ∂ y 1,1 , 1 ∂ y ∂ w 0,1 , 0 + ∂ f ∂ z 1,1 , 1 ∂ z ∂ w 0,1 , 0

∂ f ∂ w 0,1 , 0 = 3.0 + 2.0 + 1.1 = 1

Pronto! Então temos que f ' 1,0 , 1 = 1,6 , 1

Nosso passo a passo será o mesmo, mas agora, os gradientes terão uma componente a mais, referente a variável z . Beleza!?

Então partiu exercícios!

Regra da Cadeia Caso 3 parâmetros

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

UERJ, Cálculo 2, Professora Renata, Lista 2, questão 3, item d

Determine ∂ f ∂ s   e ∂ f ∂ t da função f x , y = x 2 + x y + y 2 , tendo x = s + t e y = s t

Passo 1

Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

E

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de f ( x , y ) :

f x , y = x 2 + x y + y 2

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 2 x + y , x + 2 y )

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de x :

x ( s , t ) = s + t

∇ x s , t = ∂ x ∂ s , ∂ x ∂ t = 1,1

Passo 4

E o gradiente de y :

y ( s , t ) = s t

∇ y s , t = ∂ y ∂ s , ∂ y ∂ t = ( t , s )

Passo 5

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo 1 !

A derivada de f em relação a s fica:

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

∂ f ∂ s = 2 x + y . 1 + x + 2 y . t

∂ f ∂ s = 2 x + y + x t + 2 y t

E a derivada de f em relação a t fica:

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

∂ f ∂ t = 2 x + y . 1 + x + 2 y . s

∂ f ∂ t = 2 x + y + x s + 2 y s

Resposta

∂ f ∂ s = 2 x + y + x t + 2 y t

∂ f ∂ t = 2 x + y + x s + 2 y s

Exercício Resolvido #2

CEFET, Cálculo 2, Professor Roberto Thomé, Lista 1, questão 17, item d

Use a regra da cadeia para determinar ∂ s ∂ u e ∂ s ∂ v em

s = z 3 - x 2 y

sendo

x = u + v ln ⁡ u

y = u 2 - v ln ⁡ v

z = u 2 - v 2

Passo 1

Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ u

E

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

Trocando agora para a nossa função s :

Para derivada em relação a u :

∂ s ∂ u = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ u + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ u + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ u

Para derivada em relação a v :

∂ s ∂ v = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ v + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ v + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ v

Passo 2

Vamos, então, calcular as derivadas de s ( x , y , z ) :

s = z 3 - x 2 y

∂ s ∂ x = - 2 x y

∂ s ∂ y = - x 2

∂ s ∂ z = 3 z 2

Passo 3

Ok, agora vamos calcular as derivadas de x :

x = u + v ln ⁡ u

∂ x ∂ u = 1 + v u

∂ x ∂ v = ln ⁡ u

Passo 4

E as derivadas de y :

y = u 2 - v ln ⁡ v

∂ y ∂ u = 2 u

∂ y ∂ v = - ln ⁡ v - 1

Passo 5

E, por fim, as derivadas de z :

z = u 2 - v 2

∂ z ∂ u = 2 u

∂ z ∂ v = - 2 v

Passo 6

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo 1 !

A derivada de s em relação a u fica:

δ s δ u = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ u + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ u + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ u

δ s δ u = - 2 x y ⋅ 1 + v u - x 2 ⋅ 2 u + 3 z 2 ⋅ ( 2 u )

δ s δ u = - 2 x y - 2 x y v u - 2 u x 2 + 6 u z 2

E a derivada de s em relação a v fica:

δ s δ v = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ v + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ v + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ v

δ s δ v = - 2 x y ⋅ ln ⁡ u - x 2 ⋅ - ln ⁡ v - 1 + 3 z 2 ⋅ - 2 v

δ s δ v = - 2 x y ln ⁡ u + x 2 ln ⁡ v + 1 - 6 v z 2

Resposta

δ s δ u = - 2 x y - 2 x y v u - 2 u x 2 + 6 u z 2

δ s δ v = - 2 x y ln ⁡ u + x 2 ln ⁡ v + 1 - 6 v z 2

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2015.1, questão 2

Seja f : R 2 → R 2 , u , v → f u , v . Sejam u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y . Considere a composta g x , y ≔ f u x , y , v x , y ; ∀ x , y ∈ R 2 .

Assuma:

g x 2 4 , 2 4 = a

g y 2 4 , 2 4 = b

Para a e ∈ R .

Calcule f u 0 , 1 4 e f v 0 , 1 4 em função de a e b .

Passo 1

Aqui a dica é a seguinte: o enunciado pediu pra assumir g x 2 4 , 2 4 e g y 2 4 , 2 4 como valores constantes. Isso, naturalmente, não foi por acaso! Vejamos, se colocamos o ponto 2 4 , 2 4 em u x , y , teremos:

u 2 4 , 2 4 = 2 4 2 - 2 4 2 = 0

E, colocando esse ponto em v x , y , teremos:

v x , y = 2 2 4 . 2 4 = 1 4

E, olha só! Colocando esse u e v em f , temos f 0 , 1 4 , que é exatamente o ponto no qual ele nos pede as derivadas :D Viu só? Isso parece “acaso”, mas nunca é XD

Passo 2

Agora que já sabemos que todo x , y que aparecer na jogada vai ser esse ponto 2 4 , 2 4 para gerar o u , v = 0 , 1 4 , vamos apenas usar a regra da cadeia para calcular genericamente o valor dessas derivadas, e depois colocar os valores que tivermos em função de a e b !

Se desenvolvermos g x , simplesmente pela definição g x , y ≔ f u x , y , v x , y , pela regra da cadeia, teríamos:

g x = f u . u x + f v . v x

Colocando os pontos x , y e u , v , temos:

g x 2 4 , 2 4 = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

Como g x 2 4 , 2 4 = a , então, temos:

a = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

Beleza?

Passo 3

Agora, vamos desenvolver o g y , pela regra da cadeia:

g y = f u . u y + f v . v y

Colocando os pontos que queremos:

b = f u 0 , 1 4 . u y 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v y 2 4 , 2 4

Prontinho :D

Passo 4

Agora nos resta a pergunta: quanto valem u x 2 4 , 2 4 , u y 2 4 , 2 4 , v x 2 4 , 2 4 , v y 2 4 , 2 4 ? Isso nós podemos calcular, pois u e v nos foram dados!

Se u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y , então:

u x = 2 x

u y = - 2 y

v x = 2 y

v y = 2 x

Colocando o nosso ponto 2 4 , 2 4 , temos:

u x 2 4 , 2 4 = 2 2

u y 2 4 , 2 4 = - 2 2

v x 2 4 , 2 4 = 2 2

v y 2 4 , 2 4 = 2 2

Show!

Passo 5

Agora, voltamos nas equações de g x e g y com os valores das derivadas de u e v em relação a x e y :

a = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

a = f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2

E, para o g y ,

b = f u 0 , 1 4 . u y 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v y 2 4 , 2 4

b = - f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2

E, agora, só precisamos resolver o sistema:

a = f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2 b = - f u 0 , 1 4 . 2 2 + f v 0 , 1 4 . 2 2

Somando as duas equações, teremos:

2 f v = a + b

f v = a + b 2

Subtraindo a de baixo da de cima, temos:

2 f u = a - b

f u = a - b 2

E aí estão nossas derivadas :D

Resposta

f u = a - b 2 e f v = a + b 2

Exercício Resolvido #4

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 225, exercício 17

Seja

g x , y = x 2 + y 2 f ( u , v )

Onde

u = 2 x - y

v = x + 2 y

Mostre que

∂ g ∂ x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Passo 1

Para calcular ∂ g ∂ x temos que usar a regra do produto, e foi isso que ele fez ali em cima:

∂ g ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x . f u , v + ( x 2 + y 2 ) ∂ f ∂ x

No fundo, o que ele quer que a gente mostre é que

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

f é uma função de u e v e u e v são funções de outras duas variáveis x e y . Então, tudo o que temos que fazer é aplicar a regra da cadeia, né?

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de f ( u , v ) :

∇ f u , v = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de u :

u = 2 x - y

∇ u x , y = ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y = ( 2 , - 1 )

Passo 4

E o gradiente de v :

v = x + 2 y

∇ v x , y = ∂ v ∂ x , ∂ v ∂ y = ( 1,2 )

Passo 5

-

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar na fórmula do passo 1 !

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ u + 1 ∂ f ∂ v

Show!

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Então

∂ g ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x . f u , v + ( x 2 + y 2 ) ∂ f ∂ x

∂ g ∂ x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #5

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2013.2, questão 4, item b

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Para F : R 3 → R definida por

F x , y , z = ln ⁡ x 2 y + g cos ⁡ x + h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x

Onde

g : R → R   x → g x

É uma função de classe C 2 e

h : R 2 → R   u , v → h u , v

É uma função de classe C 2 , tem-se que

∂ F ∂ x x , y , z = 2 x + g ' cos ⁡ x + ∂ h ∂ u x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x 3 x 2 z + ∂ h ∂ v x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x z cos ⁡ x

Passo 1

Para ver se essa parada é verdadeira temos que fazer a derivada. Vamos fazer a derivada de F em relação a x em cada parcela da soma para ver se aparece ali.

Começando com

∂ ∂ x ln ⁡ x 2 y = 1 x 2 y 2 x y = 2 x y x 2 y = 2 x

Beleza está ali no resultado final, aqui nos usamos a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos fazer a derivada de

∂ ∂ x g cos ⁡ x = - g ' cos ⁡ x . sen ⁡ x

Opa, aí já nos mostrou que essa bagaça é falsa, está faltando o seno na resposta que ele deu.

Se você calcular a derivada em relação a x de h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x vai ver que vai dar o que aparece ali, mas não importa está errado de qualquer forma pelo termo faltando seno.

Resposta

Falso

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Sejam

f = f x , y , z = x ² + y ³ + z 4

x = x u , v , w = u v + w

y = y u , v , w = u w + v

z = z u , v , w = v w + u

Calcule ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v e ∂ f ∂ w para u , v , w = 1,1 , 1

Passo 1

Vamos primeiro descobrir qual o x ,   y   e z correspondentes a u , v , w = 1,1 , 1 :

x u , v , w = u v + w ⇒ x 1,1 , 1 = 2

y u , v , w = u w + v ⇒ y 1,1 , 1 = 2

z u , v , w = v w + u ⇒ z 1,1 , 1 = 2

Então, temos que x , y , z = ( 2,2 , 2 ) quando u , v , w = 1,1 , 1 .

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular o gradiente de f , x , y e z e no final a gente substitui os pontos.

Começando pelo gradiente de f :

f x , y , z = x ² + y ³ + z 4

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = ( 2 x , 3 y 2 , 4 z 3 )

Passo 3

Agora o gradiente de x :

x u , v , w = u v + w

∇ x u , v , w = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v , ∂ x ∂ w = v , u , 1

Passo 4

Agora o gradiente de y :

y u , v , w = u w + v

∇ y u , v , w = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v , ∂ y ∂ w = w , 1 , u

Passo 5

E, o gradiente de z :

z u , v , w = v w + u

∇ z u , v , w = ∂ z ∂ u , ∂ z ∂ v , ∂ z ∂ w = ( 1 , w , v )

Passo 6

Agora vamos substituir na fórmula e, depois, nos pontos correspondentes:

Para a derivada em relação a u :

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ u

∂ f ∂ u = 2 x . v + 3 y 2 . w + 4 z 3 . 1

∂ f ∂ u ( 1,1 , 1 ) = ∂ f ∂ x ( 2,2 , 2 ) ∂ x ∂ u ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ y ( 2,2 , 2 ) ∂ y ∂ u ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ z ( 2,2 , 2 ) ∂ z ∂ u ( 1,1 , 1 )

∂ f ∂ u 1,1 , 1 = 2 2 . 1 + 3 2 2 . 1 + 4 2 3 . 1 = 48

Passo 7

Para a derivada em relação a v :

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

∂ f ∂ v = 2 x . u + 3 y 2 . 1 + 4 z 3 . w

∂ f ∂ v ( 1,1 , 1 ) = ∂ f ∂ x ( 2,2 , 2 ) ∂ x ∂ v ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ y ( 2,2 , 2 ) ∂ y ∂ v ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ z ( 2,2 , 2 ) ∂ z ∂ v ( 1,1 , 1 )

∂ f ∂ v = 2 2 . 1 + 3 2 2 . 1 + 4 2 3 . 1 = 48

Passo 8

E, finalmente (!!!), para a derivada em relação a w :

∂ f ∂ w = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ w + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ w

∂ f ∂ w = 2 x . 1 + 3 y . u + 4 z 3 . v

∂ f ∂ w ( 1,1 , 1 ) = ∂ f ∂ x ( 2,2 , 2 ) ∂ x ∂ w ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ y ( 2,2 , 2 ) ∂ y ∂ w ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ z ( 2,2 , 2 ) ∂ z ∂ w ( 1,1 , 1 )

∂ f ∂ w = 2 2 . 1 + 3 2 2 . 1 + 4 2 3 . 1 = 48

Viu!? É quase igual ao caso II da regra da cadeia.

Resposta

∂ f ∂ u ( 1,1 , 1 ) = 48

∂ f ∂ v ( 1,1 , 1 ) = 48

∂ f ∂ w ( 1,1 , 1 ) = 48

Exercício Resolvido #7

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 326, exercício 11.

Dado

u = p - q q - r

p = x + y + z

q = x - y + z

r = x + y - z

  1. Expresse ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z como funções de x ,   y   e z usando a regra da cadeia e também expressando u diretamente em termos de x ,   y   e z antes de diferenciar.
  2. Calcule ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z no ponto x , y , z = ( 3 , 2,1 )

Passo 1

a )

Vamos fazer primeiro pela regra da cadeia.

Para isso, precisamos calcular o gradiente de u , p , q e r .

Começando por u :

u = p - q q - r

∇ u p , q , r = ∂ u ∂ p , ∂ u ∂ q , ∂ u ∂ r = 1 q - r , r - p q - r 2 , p - q q - r 2

Passo 2

Gradiente de p :

p = x + y + z

∇ p x , y , z = ∂ p ∂ x , ∂ p ∂ y , ∂ p ∂ z = ( 1,1 , 1 )

Passo 3

Gradiente de q :

q = x - y + z

∇ q x , y , z = ∂ q ∂ x , ∂ q ∂ y , ∂ q ∂ z = ( 1 , - 1,1 )

Passo 4

Gradiente de r :

r = x + y - z

∇ r x , y , z = ∂ r ∂ x , ∂ r ∂ y , ∂ r ∂ z = ( 1,1 , - 1 )

Passo 5

Agora vamos substituir o que encontramos nas fórmulas da regra da cadeia.

Para a derivada em relação a x :

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ x + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ x

∂ u ∂ x = 1 q - r 1 + r - p q - r 2 1 + p - q q - r 2 1 = q - r + r - p + p - q q - r 2 = 0

Para a derivada em relação a y :

∂ u ∂ y = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ y + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ y

∂ u ∂ y = 1 q - r 1 + r - p q - r 2 - 1 + p - q q - r 2 1 = 2 p - 2 r q - r 2

∂ u ∂ y = 2 p - 2 r q - r 2 = 2 x + y + z - 2 x + y - z x - y + z - x + y - z 2 = z z - y 2    

E, para a derivada em relação a z :

∂ u ∂ z = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ z + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ z

∂ u ∂ z = 1 q - r 1 + r - p q - r 2 1 + p - q q - r 2 - 1 = q - r + r - p - p + q q - r 2 = 2 q - 2 p ( q - r ) ²

∂ u ∂ z = 2 p - 2 r ( q - r ) ² = - 4 y 2 z - 2 y 2 = - y z - y 2

Passo 6

Agora vamos substituir p ,   q e r na expressão de u para calcular as derivadas parciais.

u = p - q q - r

p = x + y + z

q = x - y + z

r = x + y - z

u = ( x + y + z ) - ( x - y + z ) ( x - y + z ) - ( x + y - z ) = 2 y 2 z - 2 y

Passo 7

Calculando ∂ u ∂ x :

∂ u ∂ x = 0

Calculando ∂ u ∂ y :

∂ u ∂ y = z - y - y - 1 z - y 2 = z z - y 2

Calculando ∂ u ∂ z :

∂ u ∂ z = z - y 0 - y 1 z - y 2 = - y z - y 2

Igual aos resultados que obtivemos antes

Passo 8

b )

Como já temos as expressões de ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z em função de x ,   y   e z , só temos que substituir no ponto x , y , z = ( 3 , 2,1 ) .

Então:

∂ u ∂ x = 0

∂ u ∂ y = 1 1 - 2 2 = 1

E

∂ u ∂ z = - 2 1 - 2 2 = - 2 - 1 2 = - 2

Resposta

∂ u ∂ x = 0

∂ u ∂ y = 1

E

∂ u ∂ z = - 2

Exercício Resolvido #8

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 327, exercício 24.

Seja

w = g ( x , y )

x = h r , s , t

y = k r , s , t

Escreva a fórmula da regra da cadeia para ∂ w ∂ s

Passo 1

Temos um caso em que a função “de fora” é uma função de duas variáveis x e y e cada uma dessas variáveis é função de outras três variáveis r , s e t .

Esse é o caso III da regra da cadeia.

w = g h r , s , t , k r , s , t

Para achar a derivada parcial de w em relação a s , temos que fazer:

∂ g ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ g ∂ y ∂ y ∂ s

Mas, a função g é a própria função w . A questão só faz isso de usar letras diferentes pra te confundir. Mas como você estuda pelo Responde Aí, não vai cair nessas pegadinhas, né?!

Então, pela fórmula da regra da cadeia:

∂ w ∂ s = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ s

Resposta

∂ w ∂ s = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ s

Exercício Resolvido #9

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 327, exercício 41.

Se f ( u , v , w ) é diferenciável e

u = x - y

v = y - z

w = z - x

Mostre que

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0

Passo 1

Pra mostrar isso ai a gente quem que calcular as derivadas parciais né?

Pelas fórmulas da regra da cadeia, temos que:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y

E

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ z + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ z

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f :

∇ f u , v , w = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v , ∂ f ∂ w

Passo 3

Gradiente de u :

u = x - y

∇ u x , y , z = ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y , ∂ u ∂ z = ( 1 , - 1,0 )

Passo 4

Gradiente de v :

v = y - z

∇ v x , y , z = ∂ v ∂ x , ∂ v ∂ y , ∂ v ∂ z = ( 0,1 , - 1 )

Passo 5

Gradiente de w :

w = z - x

∇ w x , y , z = ∂ w ∂ x , ∂ w ∂ y , ∂ w ∂ z = ( - 1,0 , 1 )

Passo 6

Ok, agora vamos substituir nas fórmulas do passo 1.

Para a derivada em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u 1 + ∂ f ∂ v 0 + ∂ f ∂ w - 1 = ∂ f ∂ u - ∂ f ∂ w

Para a derivada em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u - 1 + ∂ f ∂ v 1 + ∂ f ∂ w 0 = - ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

E para a derivada em relação a z :

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ z + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ z

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u 0 + ∂ f ∂ v - 1 + ∂ f ∂ w 1 = - ∂ f ∂ v + ∂ f ∂ w

Passo 7

-

Por fim, vamos verificar se conseguimos mostrar o que o problema pediu:

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u - ∂ f ∂ w - ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v - ∂ f ∂ v + ∂ f ∂ w = 0

Uhul, deu certo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #10

UFF, Cálculo 2B, GMA, 2008.2, Lista 6, questão 11

Considere as funções f , g e h tais que f x , y = x y , x 2 + y , x - y , g u , v , w = 2 w ln ⁡ u v e h s ∈ R . Seja H x , y = h ∘ g ∘ f x , y , h derivável em R .

  1. Para ser possível calcular ∂ H ∂ x 1,3 , para que valor de s é preciso conhecer h ' s ?
  2. Supondo que para o valor de s do item anterior, h ' s = 5 , calcule ∂ H ∂ x 1,3 .

Passo 1

a )

Essa função aí é uma zona só. A nossa função é

H x , y = h s

Onde vamos ter s =   g f x , y

Para derivar H em relação a x temos que usar a regra da cadeia, como é uma função de uma variável vai ficar

∂ H ∂ x = h ' s . ∂ s ∂ x

O valor de s só entra em h ' s então não vamos nos preocupar por enquanto em ∂ s ∂ x , temos primeiro que saber

s =   g f x , y

Passo 2

Primeiro precisamos de f 1,3

f 1,3 = 1.3 , 1 2 + 3,1 - 3 = 3,4 , - 2

Agora precisamos achar

g 3,4 , - 2 = 2 - 2 ln ⁡ 4.3 = - 4 ln ⁡ 12

Vamos ter então

s = - 4 ln ⁡ 12

Passo 3

b )

Lembrando que a derivada vai ser

∂ H ∂ x = h ' s . ∂ s ∂ x

Já temos h ' s , precisamos achar ∂ s ∂ x , vulgo ∂ g ∂ x que vamos usar a regra da cadeia.

Primeiro fazemos o vetor gradiente de g

∇ g = ∂ g ∂ u , ∂ g ∂ v , ∂ g ∂ w = 2 w v u v , 2 w u u v , 2 ln ⁡ u v = 2 w u , 2 w v , 2 ln ⁡ u v

Agora temos que achar o gradiente na parametrização, no caso de x = 1 e y = 3 vimos que

u , v , w = 3,4 , - 2

Então

∇ g 3,4 , - 2 = 2 - 2 3 , 2 - 2 4 , 2 ln ⁡ 3.4 = - 4 3 , - 1,2 ln ⁡ 12

Passo 4

Temos que achar ∂ f ∂ x agora, lembra como faz?

Lembrando que

u = x y

v = x 2 + y

w = x - y

Ou seja f x , y é a parametrização com duas variáveis. Então

∂ f ∂ x = ∂ u ∂ x , ∂ v ∂ x , ∂ w ∂ x = y , 2 x , 1

Agora fazemos ∂ f ∂ x no ponto 1,3

∂ f ∂ x 1,3 = 3,2 , 1

Passo 5

Vamos ter

∂ g ∂ x = 3,2 , 1 ∙ - 4 3 , - 1,2 ln ⁡ 12 = - 4 - 2 + 2 ln ⁡ 12 = - 6 + 2 ln ⁡ 12

Passo 6

A derivada que queremos é

∂ H ∂ x = h ' s . ∂ s ∂ x

Já achamos ∂ s ∂ x e temos h ' s então

∂ H ∂ x = 5 . - 6 + 2 ln ⁡ 12 = - 30 + 10 ln ⁡ 12

Resposta

- 30 + 10 ln ⁡ 12

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .