Regra Da Cadeia Para Derivadas Parciasi De Ordem Superior
Produzido por Bruno NeresTeoria
Fala aí! Hoje vamos aprender como aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais de ordem superior.
É… esse nome já é um pouquinho assustador, né? Mas fica tranquilo, não tem nada de muito novo não, só vai dar um pouquinho de trabalho manual mesmo.
⭐ Veja também ⭐
- Introdução a funções de várias variáveis.
- Derivadas parciais.
- Derivadas parciais de ordem superior.
- Regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Derivadas Parciais de Ordem Superior
Antes de irmos direto ao ponto, vale uma breve revisão.
As derivadas parciais são usadas quando queremos derivar uma função de várias variáveis. Mais ou menos assim, para derivar a função
A gente deriva em relação a
E a gente deriva em relação a
Essa aí são nossas derivadas parciais de
Aí, se quiséssemos a segunda derivada de

No final de todas as contas, a gente ficaria com esse monstrinho aqui:

Como usar a Regra da Cadeia em Derivadas Parciais de Ordem Superior?
Agora, vamos ver como ficariam essas contas aí se a gente precisar envolver a regra da cadeia aí no meio.
Nós vamos precisar disso aqui quando nos depararmos com um função multivariável
Confuso demais? Vou deixar aqui um vídeo com tudo explicadinho pra você e um resuminho maravilhoso no final, caso você tenha mais facilidade assim.
Senão, segue comigo no textinho logo depois que já vai ficar tudo mais claro 😉
Se liga no exemplo 👇
Exemplo: Seja diferenciável em e e e diferenciáveis em e . Calcule .
Viu como a gente tem uma função de duas variáveis que são funções de outras variáveis? É esse tipo de caso que pede a regra da cadeia.
Pra ficar mais fácil de entender onde a gente quer chegar, vamos montar um diagrama com as ramificações parecido com o que eu fiz ali em cima.

O que esse diagrama tá dizendo é que a gente tem a função inicial
Bora adicionar a esse diagrama as derivadas parciais de cada um:

Tudo tranquilo?
O que a gente vê nesse diagrama é que a função
Agora, vamos pensar no seguinte: a gente quer chegar em
Olha, se a gente seguir por aquela setinha azul e depois pela verde:

Vamos ficar com
Mas ali do outro lado da árvore, a gente também pode chegar nesse resultado, concorda?

Aí temos:
Então, a gente precisa considerar esses dois caminhos! E fazemos isso dessa forma aqui:
Parabéns! Você acabou de deduzir a regra da cadeia para funções de várias variáveis sem nem perceber 😆
Vamos substituir uns valores nesse negócio aí? Começamos calculando cada derivada parcial que aparece nessa bagunça toda aí:
Como a gente não conhece a expressão de
Só que tem um porém, o que a gente quer mesmo é
E aí o negócio começa a ficar mais complicado, por que a gente tem duas regras do produto e duas regras da cadeia. Porque todo mundo ali dentro daquele parênteses depende direta ou indiretamente de
A partir desse ponto aqui, eu vou passar a escrever
Usando a regra do produto, a gente chega nisso aqui:
Aí a gente pode ir simplificando o que a gente sabe derivar.
Agora vem a regra da cadeia. Começando por
Substituindo os valores que a gente já conhece:
Aí repete tudo isso pra
Agora a gente pode substituir lá naquela equação anterior:
Fazendo mais um pouquinho de contas:
Finalmente chegamos em um resultado!
Toma muito cuidado pra não errar nas continhas e não se perder no meio do caminho, beleza? Segue aquele diagrama que te mostrei que é sucesso 😉