Regra Da Cadeia Para Derivadas Parciasi De Ordem Superior

Produzido por Bruno Neres
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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender como aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais de ordem superior.

É… esse nome já é um pouquinho assustador, né? Mas fica tranquilo, não tem nada de muito novo não, só vai dar um pouquinho de trabalho manual mesmo.

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Derivadas Parciais de Ordem Superior

Antes de irmos direto ao ponto, vale uma breve revisão.

As derivadas parciais são usadas quando queremos derivar uma função de várias variáveis. Mais ou menos assim, para derivar a função :

A gente deriva em relação a , tratando como uma constante qualquer:

E a gente deriva em relação a , tratando como constante:

Essa aí são nossas derivadas parciais de .

Aí, se quiséssemos a segunda derivada de , teríamos que derivar cada um desses caras parcialmente mais uma vez…

Figurinha.
Figurinha.

No final de todas as contas, a gente ficaria com esse monstrinho aqui:

Diagrama de árvore para as derivadas parciais.
Diagrama de árvore para as derivadas parciais.

Como usar a Regra da Cadeia em Derivadas Parciais de Ordem Superior?

Agora, vamos ver como ficariam essas contas aí se a gente precisar envolver a regra da cadeia aí no meio.

Nós vamos precisar disso aqui quando nos depararmos com um função multivariável que tem suas variáveis definidas em função de outras variáveis.

Confuso demais? Vou deixar aqui um vídeo com tudo explicadinho pra você e um resuminho maravilhoso no final, caso você tenha mais facilidade assim.

Senão, segue comigo no textinho logo depois que já vai ficar tudo mais claro 😉

Se liga no exemplo 👇

Exemplo: Seja diferenciável em e e e diferenciáveis em e . Calcule .

Viu como a gente tem uma função de duas variáveis que são funções de outras variáveis? É esse tipo de caso que pede a regra da cadeia.

Pra ficar mais fácil de entender onde a gente quer chegar, vamos montar um diagrama com as ramificações parecido com o que eu fiz ali em cima.

Diagrama das funções compostas.
Diagrama das funções compostas.

O que esse diagrama tá dizendo é que a gente tem a função inicial , ela é função de e , e esses caras são funções de e .

Bora adicionar a esse diagrama as derivadas parciais de cada um:

Diagrama com as derivadas parciais.
Diagrama com as derivadas parciais.

Tudo tranquilo?

O que a gente vê nesse diagrama é que a função pode ser derivada em relação a e em relação a . E as funções e podem ser derivadas em relação a e cada uma.

Agora, vamos pensar no seguinte: a gente quer chegar em , antes disso, qual caminho pelas setinhas a gente tem que percorrer pra chegar em ?

Olha, se a gente seguir por aquela setinha azul e depois pela verde:

Ilustração da regra da cadeia.
Ilustração da regra da cadeia.

Vamos ficar com

Mas ali do outro lado da árvore, a gente também pode chegar nesse resultado, concorda?

Ilustração da regra da cadeia.
Ilustração da regra da cadeia.

Aí temos:

Então, a gente precisa considerar esses dois caminhos! E fazemos isso dessa forma aqui:

Parabéns! Você acabou de deduzir a regra da cadeia para funções de várias variáveis sem nem perceber 😆

Vamos substituir uns valores nesse negócio aí? Começamos calculando cada derivada parcial que aparece nessa bagunça toda aí:

Como a gente não conhece a expressão de , deixamos do jeito que tá mesmo.

Só que tem um porém, o que a gente quer mesmo é , então a gente tem que derivar essa expressão resultante aí mais uma vez em relação a 😖

E aí o negócio começa a ficar mais complicado, por que a gente tem duas regras do produto e duas regras da cadeia. Porque todo mundo ali dentro daquele parênteses depende direta ou indiretamente de .

A partir desse ponto aqui, eu vou passar a escrever como e como , ok?

Usando a regra do produto, a gente chega nisso aqui:

Aí a gente pode ir simplificando o que a gente sabe derivar.

Agora vem a regra da cadeia. Começando por :

Substituindo os valores que a gente já conhece:

Aí repete tudo isso pra :

Agora a gente pode substituir lá naquela equação anterior:

Fazendo mais um pouquinho de contas:

Finalmente chegamos em um resultado!

Toma muito cuidado pra não errar nas continhas e não se perder no meio do caminho, beleza? Segue aquele diagrama que te mostrei que é sucesso 😉

Exemplo: Seja diferenciável em e e e diferenciáveis em e . Calcule .

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