12. Considere a superfície S de equação z = 2 x 2 + 2 y ²

  1. Determine o ponto P 0 ∈ S   tal que o plano tangente a S em P 0 seja ortogonal ao vetor V = 0,1 , - 1 6

Passo 1

Quando o exercício nos pede um vetor ortogonal a um plano, ele está nos dizendo que esse vetor é paralelo ao vetor Normal ao Plano. Esse vetor normal é chamado vetor Gradiente, que tem o seguinte formato, sendo nossa superfície uma função g, seu gradiente é

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

Como o plano que estamos falando é o plano tangente à nossa superfície, então a grande sacada é perceber que esse vetor normal é Normal tanto ao plano quanto à superfície. O que facilita imensamente nossa vida. No nosso caso

g   : z - 2   x 2 + y 2 = 0

É sempre bom deixar equação inteira do lado esquerdo e deixar igualada a zero. Com isso nosso vetor normal, ou melhor o Vetor Gradiente é

∇ g = - 4 x ,   - 4 y , 1

E esse vetor é paralelo a

V = 0,1 , - 1 6

∇ g   / /   V

Podemos multiplicar V por um fator só para facilitar nossa vida

- 6 V = 0 , - 6,1

Assim a componente z dos dois vetores são iguais. Agora podemos fazer o seguinte truque, igualar as componentes de cada vetor

- 4 x = 0

- 4 y =   - 6

1 = 1

Com isso podemos dizer que

x = 0

y = 3 2

Passo 2

Agora só falta achar o valor de z. Podemos usar a própria equação da superfície

g   : z - 2   x 2 + y 2 = 0

z - 2   3 2 2 = 0

z = 9 2

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

P = 0 , 3 2 , 9 2

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