Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 12a

12. Considere a superfície S de equação

Determine o ponto tal que o plano tangente a S em seja ortogonal ao vetor

Passo 1

Quando o exercício nos pede um vetor ortogonal a um plano, ele está nos dizendo que esse vetor é paralelo ao vetor Normal ao Plano. Esse vetor normal é chamado vetor Gradiente, que tem o seguinte formato, sendo nossa superfície uma função g, seu gradiente é

Como o plano que estamos falando é o plano tangente à nossa superfície, então a grande sacada é perceber que esse vetor normal é Normal tanto ao plano quanto à superfície. O que facilita imensamente nossa vida. No nosso caso

É sempre bom deixar equação inteira do lado esquerdo e deixar igualada a zero. Com isso nosso vetor normal, ou melhor o Vetor Gradiente é

E esse vetor é paralelo a

Podemos multiplicar V por um fator só para facilitar nossa vida

Assim a componente z dos dois vetores são iguais. Agora podemos fazer o seguinte truque, igualar as componentes de cada vetor

Com isso podemos dizer que

Passo 2

Agora só falta achar o valor de z. Podemos usar a própria equação da superfície

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

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Considere a função f x , y = x 3 x 2 + y 2 . Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.

A função z = z x , y é diferenciável e dada implicitamente pela equação x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 . Mostre que x 0 x a 2 + y 0 y b 2 + z 0 z c 2 = 1 é a equação do plano tangente no ponto x 0 ,

Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 e que contenham a intersecção dos planos x + y + z = 3 e z = 0 .

Considere a função f x , y = xϕ x y onde ϕ u é uma função derivável de uma variável. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.

Considere a função f x , y = xg x 2 - y 2 , onde g u é uma função derivável de uma variável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de a , a , f a , a passa pela origem.