Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

w = e^v / (u + v^2)

Passo 1

A questão quer que encontremos as derivadas parciais de primeira ordem da função dada.

Neste caso, temos:

w = e v u + v 2

E para encontrarmos as derivadas parciais f u e f v devemos derivar em relação a variável que estamos trabalhando no momento, e devemos considerar todas as outras variáveis como constantes.

Aqui a gente percebe que teremos que utilizar a regra do quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Passo 2

Derivando com relação a u :

w = e v u + v 2

Utilizando a regra do quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Veja que mesmo utilizando a regra do quociente, a gente continua derivando no numerador em relação a variável que estamos trabalhando:

∂ w ∂ u = 0 ⋅ u + v 2 - e v ⋅ 1 u + v 2 2

Assim,

∂ w ∂ u = - e v u + v 2 2

Passo 3

Derivando com relação a v :

w = e v u + v 2

Utilizando a regra do quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

∂ w ∂ v = e v ⋅ u + v 2 - e v ⋅ 2 v u + v 2 2

Logo, após colocarmos e v em evidência:

∂ w ∂ v = e v   ( u + v 2 - 2 v ) u + v 2 2

Resposta

∂ w ∂ u = - e v u + v 2 2

∂ w ∂ v = e v   ( u + v 2 - 2 v ) u + v 2 2

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