Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f(x, y) = (a*x + b*y) / (c*x + d*y)

Passo 1

A questão quer que encontremos as derivadas parciais de primeira ordem da função dada.

Neste caso, temos:

f x , y = a x + b y c x + d y

E para encontrarmos as derivadas parciais f x e f y devemos derivar em relação a variável que estamos trabalhando no momento, e devemos considerar todas as outras variáveis como constantes.

Aqui a gente percebe que teremos que utilizar a regra do quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Passo 2

Derivando com relação a x :

f x , y = a x + b y c x + d y

Utilizando a regra do quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Veja que mesmo utilizando a regra do quociente, a gente continua derivando no numerador em relação a variável que estamos trabalhando:

∂ f ∂ x = a ⋅ c x + d y - a x + b y ⋅ c c x + d y 2

Assim,

∂ f ∂ x = a d - b c y c x + d y 2

Passo 3

Analogamente, derivando com relação a y :

f x , y = a x + b y c x + d y

Utilizando a regra do quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

∂ f ∂ y = b ⋅ c x + d y - a x + b y ⋅ d c x + d y 2

Assim,

∂ f ∂ y = b c - a d x c x + d y 2

Resposta

∂ f ∂ x = a d - b c y c x + d y 2

∂ f ∂ y = b c - a d x c x + d y 2

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