Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 5
A imagem da curva está contida na intersecção das superfícies e . Suponha que e . Determine a reta tangente a em .
Passo 1
A questão pede para acharmos a equação da reta tangente a uma curva que é dada pela intersecção de duas superfícies no ponto . Para isso, vamos precisar achar o vetor tangente à curva nesse ponto.
O primeiro passo é reescrever as superfícies como se fossem superfícies de nível de funções de três variáveis:
Os gradientes dessas funções darão os vetores normais aos respectivos planos tangentes:
Passo 2
O vetor tangente à curva dada pela intersecção de duas superfícies será ortogonal ao vetor normal de cada superfície. Assim, ele pode ser obtido pelo produto vetorial desses dois vetores:
Portanto,
Por simplicidade, como só estamos interessados na direção desse vetor, vamos escolher como vetor diretor para a reta tangente.
Passo 3
A equação da reta é dada por
Assim,