A imagem da curva gamma(t) está contida na intersecção das superfícies x^2 + y^2 + z^2 = 3 e x^2 + 3y^2 - z^2 = 3 . Suponha que γ(t₀) = (1, 1, 1) e γ' (t₀) ≠ 0 → . Determine a reta tangente a gamma em γ(t₀) .

Passo 1

A questão pede para acharmos a equação da reta tangente a uma curva que é dada pela intersecção de duas superfícies no ponto 1 ,   1 ,   1 . Para isso, vamos precisar achar o vetor tangente à curva nesse ponto.

O primeiro passo é reescrever as superfícies como se fossem superfícies de nível de funções de três variáveis:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3

g x , y , z = x 2 + 3 y 2 - z 2 - 3

Os gradientes dessas funções darão os vetores normais aos respectivos planos tangentes:

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z ⇒ ∇ f 1 ,   1 ,   1 = 2 ,   2 ,   2

∇ g x , y , z = 2 x , 6 y , - 2 z ⇒ ∇ g 1 ,   1 ,   1 = ( 2 ,   6 ,   - 2 )

Passo 2

O vetor tangente à curva dada pela intersecção de duas superfícies será ortogonal ao vetor normal de cada superfície. Assim, ele pode ser obtido pelo produto vetorial desses dois vetores:

γ ' t 0 = 2 ,   2 ,   2 × 2 ,   - 6 ,   - 2 = i → j → k → 2 2 2 2 6 - 2

Portanto,

γ ' t 0 = ( - 16 ,   8 ,   8 )

Por simplicidade, como só estamos interessados na direção desse vetor, vamos escolher u → = ( - 2 ,   1,1 ) como vetor diretor para a reta tangente.

Passo 3

A equação da reta é dada por

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + λ u →

Assim,

x , y , z = 1 ,   1 ,   1 + λ ( - 2 ,   1,1 )

Resposta

x , y , z = 1 ,   1 ,   1 + λ ( - 2 ,   1,1 )

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