Admita a seguinte propriedade: se f x , y for contínua no retângulo a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , então, para todo ϵ0 , existe δ0 , tal que, quaisquer que sejam x , y e s , t no retângulo, x , y - x , tδ ⇒ f x , y - f s , tϵ Utilizando a propriedade acima, prove que φ y = ∫ a b f x , yd x , y ∈ c , d É continua em c , d , onde f é suporta contínua no retângulo acima.Sugestão: φ y + k - φ y = ∫ a b f x , y + k - f x , y d x ≤ ∫ a b f x , y + k - f x , y d x Suponha f e ∂ f / ∂ y contínuas no retângulo x , y ∈ R 2 a ≤ x ≤ b ,y ∈ I , onde I é um intervalo aberto. Seja φ y = ∫ a b f x , y d x ,y ∈ I Prove que φ ' y = ∫ a b ∂ f ∂ y x , y d x Sugestão: φ x + k - φ y k - ∫ a b ∂ f ∂ y x , y d x = ∫ a b f x , y + k - f x , y k - ∂ f ∂ y x , y d x = ∫ a b ∂ f ∂ y x , y 1 - ∂ f ∂ y x , y d x

Enunciado

Queremos mostrar que nossa função é contínua no intervalo

Assim tome como sugerio

Ou seja

Tal que

Logo dizemos que é contínua em

Vamos fazer o seguinte. Pela definição, temos que

Agora tome como sugerido pelo item, que

Então

Assim

Agora repare que

Definição de derivada, que utilizamos no inicio do nosso passo. Desta maneira

Ei, a resposta está no passo a passo :)