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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.6 - Ex. 4

Admita a seguinte propriedade: se f x , y for contínua no retângulo a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , então, para todo ϵ > 0 , existe δ > 0 , tal que, quaisquer que sejam x , y e s , t no retângulo,

x , y - x , t < δ ⇒ f x , y - f s , t < ϵ

  1. Utilizando a propriedade acima, prove que

    2. φ y = ∫ a b f x , y   d x ,     y ∈ c , d

    É continua em c , d , onde f é suporta contínua no retângulo acima.

    Sugestão:

    φ y + k - φ y = ∫ a b f x , y + k - f x , y d x ≤ ∫ a b f x , y + k - f x , y d x

  2. Suponha f e ∂ f / ∂ y contínuas no retângulo x , y ∈ R 2 a ≤ x ≤ b ,   y ∈ I , onde I é um intervalo aberto. Seja

φ y = ∫ a b f x , y d x ,   y ∈ I

Prove que

φ ' y = ∫ a b ∂ f ∂ y x , y d x

Sugestão:

φ x + k - φ y k - ∫ a b ∂ f ∂ y x , y d x = ∫ a b f x , y + k - f x , y k - ∂ f ∂ y x , y d x = ∫ a b ∂ f ∂ y x , y 1 - ∂ f ∂ y x , y d x

Passo 1

Queremos mostrar que nossa função φ y é contínua no intervalo c , d

Assim tome como sugerio

φ y + k - φ y = ∫ a b f x , y + k - f x , y d x ≤ ∫ a b f x , y + k - f x , y d x

Ou seja

x - x 2 + y + k - y 2 = k < δ

Tal que

δ > 0

Logo dizemos que φ y é contínua em c , d

Passo 2

Vamos fazer o seguinte. Pela definição, temos que

d φ d y = l i m k → 0 φ x + k - φ y k

Agora tome como sugerido pelo item, que

φ y = ∫ a b f x , y d x ,   y ∈ I

Então

l i m k → 0 φ x + k - φ y k = lim k → 0 ⁡ ∫ a b f x , y + k - f x , y k d x

Assim

φ ' t = lim k → 0 ⁡ ∫ a b f x , y + k - f x , y k d x

= ∫ a b lim k → 0 ⁡ f x , y + k - f x , y k d x

Agora repare que

lim k → 0 ⁡ f x , y + k - f x , y k = ∂ f ∂ y

Definição de derivada, que utilizamos no inicio do nosso passo. Desta maneira

φ ' y = ∫ a b ∂ f ∂ y x , y d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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