Em cada um dos problemas de 30 a 35, use o resultado do Problema 29 para encontrar a transformada de Laplace da função dada;  a  e  b  são números reais e  n  é um inteiro positivo.

f(t) = t^n * e^at

Passo 1

Usando a pegada do exercício anterior iremos usar a transformação Laplace desejada que será escrita como, de acordo com o problema 29.

Fazendo com que :

g t = e a t

Nós sabemos que L g t = G s = 1 s - a , devido ao exercício 30.

Podemos entender G ( n ) ( s ) como:

G s = 1 s - a → G ( n ) s = - 1 n n ! s - a n + 1

Pelo exercício 29 , temos que:

G ( n ) s = L { - t n g ( t ) }

L f t = L t n = L - t n - 1 n = G ( n ) ( s )

O que nós temos é basicamente:

L f t = L - t n e a t = - 1 n n ! s - a n + 1

Assim:

L - t n e a t = L - 1 n t n e a t = - 1 n L t n e a t

Então, teremos:

L t n e a t = n ! s - a n + 1

Resposta

L t n e a t = n ! s - a n + 1

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