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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 22

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

y ' ' - 2 y ' + 2 y = e - t   ; y 0 = 0   e   y ' 0 = 1

Passo 1

Vamos considerar a nossa EDO como:

y ' ' - 2 y ' + 2 y = e - t   ; y 0 = 0   e   y ' 0 = 1

Utilizando a tabela de transformação de Laplace, podemos dizer que :

L y ' = f ' t = s f s - f ( 0 )

E também :

L y ' ' = f ' ' t = s 2 f s - s f 0 - f ' ( 0 )

E :

L y = f t = f ( s )

L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1

L { cos ⁡ t } = s s 2 + 1

L e a t = 1 s - a

L e a t f t = Y ( s - c )

Com essas considerações, vamos sair do domínio de t para o domínio de s , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de t .

Passo 2

Considerando o nosso PVI:

y ' ' - 2 y ' + 2 y = e - t  

Aplicamos Laplace:

L { y ' ' } - 2 L { y ' } + 2 { y } = L { e - t }

Vamos transformar o domínio t em domínio s . Substistuindo pelos valores de Laplace,

teremos:

s 2 f s - s f 0 - f ' 0 - 2 [ s f s - f 0 ] + 2 f s = 1 s + 1

Aplicando as condições dadas:

s 2 f s - s . 0 - 1 - 2 s f s - 0 + 2 f s = 1 s + 1

Cortando alguns termos, temos:

s 2 f s - 1 - 2 s f ( s ) + 2 f s = 1 s + 1

Isolando f ( s ) :

f s . s 2 - 2 s + 2 - 1 = 1 s + 1

Então:

f s = 1 ( s + 1 ) ( s 2 - 2 s + 2 ) + 1 s 2 - 2 s + 2

Com isso, conseguimos chegar em uma equação. Agora, devemos retornar fazendo a transformação inversa de Laplace, mundando o domínio de s para t .

Passo 3

Antes de começar a aplicar a transformação inversa de Laplace, vamos transformar a primeira parte da função em frações parciais:

1 ( s + 1 ) ( s 2 - 2 s + 2 ) = A s + 1 + B s + C s 2 - 2 s + 2

Cortando os denominadores:

1 = A s 2 - 2 s + 2 + B s + C s + 1

1 = A s 2 - 2 A s + 2 A + B s 2 + B s + C s + C

Unindo os termos em comum, teremos:

1 = A + B s 2 + B + C - 2 A s + 2 A + C

Podemos dizer que :

A + B = 0

B + C - 2 A = 0

2 A + C = 1

Podemos reorganizar as fórmulas:

A = - B

B + c - 2 - B = 0

2 - B + C = 1

B + C + 2 B = 0

- 2 B + C = 1

5 B = - 1

B = - 1 5

A = 1 5

C = 3 5

Aplicando na fórmula, teremos:

1 ( s + 1 ) ( s 2 - 2 s + 2 ) = 1 / 5   s + 1 + - 1 / 5 s + 3 / 5 s 2 - 2 s + 2

Simplificando:

1 ( s + 1 ) ( s 2 - 2 s + 2 ) = 1 5 . 1 s + 1 + 1 5 . - s + 3 s 2 - 2 s + 2

Passo 4

Agora resolveremos a função, transformando-a em uma transformada inversa de Laplace. Passando do domínio de s para o domínio de t .

f s = 1 5 . 1 s + 1 + 1 5 . - s + 3 s 2 - 2 s + 2 + 1 s 2 - 2 s + 2

Podemos reescrever como:

f s = 1 5 . 1 s + 1 + 1 5 . - s + 3 s - 1 2 + 1 + 1 s - 1 2 + 1

Podemos separar a equação 1 5 . - s + 3 s - 1 2 + 1 em duas:

f s = 1 5 . 1 s + 1 + 1 5 . - s + 1 s - 1 2 + 1 + 1 5 . 2 s - 1 2 + 1 + 1 s - 1 2 + 1

Deixando 1 / 5 em evidência:

f s = 1 5 1 s + 1 + - s + 1 s - 1 2 + 1 + 2 s - 1 2 + 1 + 5 . 1 s - 1 2 + 1

Somando os termos em comum e reorganizando os sinais:

1 5 1 s + 1 - s - 1 s - 1 2 + 1 + 7 . 1 s - 1 2 + 1

Aplicando nas transformações de Laplace inversas, podemos usar as propriedades que dizem que:

e a t = 1 s - a

e a t sen ⁡ b t = b s - a 2 + b 2

e a t cos ⁡ b t = s - a s - a 2 + b 2

Quando a = ± 1 (dependendo da variável):

y = 1 5 [ e - t - e t cos ⁡ t + 7 e t sen ⁡ t ]

Resposta

y = 1 5 [ e - t - e t cos ⁡ t + 7 e t sen ⁡ t ]

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