Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 21
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Vamos considerar a nossa EDO como:
Utilizando a tabela de transformação de Laplace, podemos dizer que :
E também :
E :
Com essas considerações, vamos sair do domínio de para o domínio de , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de .
Passo 2
Considerando o nosso PVI:
Aplicamos Laplace:
Vamos transformar o domínio em domínio . Substistuindo pelos valores de Laplace, teremos:
Aplicando os valores das condições dados, onde, e :
Isolando ficamos com:
Isolando :
Passo 3
Antes de encontrar a equação do domínio , precisamos aplicar frações parciais na primeira equação, onde de acordo com as propriedades de frações parciais podemos reescrever como:
Cortando o denominador, podemos dizer que:
Multiplicando os termos:
Podemos reorganizar de acordo com os coeficientes em comum:
Então .
Então:
Reorganizando algumas fórmula, podemos dizer que:
Podemos montar um sistema em que:
Multiplicando a segunda equação por 2, teremos :
Somando :
Substituindo em
Substituindo nas frações parciais:
Reorganizando e separando termos:
Então, reorganizando novamente e separando a terceira e a última fração :
Passo 4
Agora, que já temos nossa função no domínio devemos usar a transformação de Laplace inversa para retornar para o domínio :
Utilizando a tabela de transformação de Laplace, podemos dizer que:
Quando :
Então, somando os termos em comum: