Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 12
Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
12.
Passo 1
Vamos começar aplicando a transformada na EDO e depois usando a linearidade das transformadas:
Pelo teorema da derivada da transformada:
E podemos escrever cada transformada que separamos como:
Sendo a transformada e a função.
Passo 2
Substituindo as condições iniciais da questão, a equação vai ficar:
Então podemos isolar :
Agora precisamos das frações parciais, vamos reescrever o denominador como produtos irredutíveis:
Para podermos separar em dois termos:
Tiramos MMC:
Simplificando dos dois lados, fica:
Para a gente zera o termo que tem , sobra só:
E para , que some, e fica o seguinte:
Nossas frações então são:
Passo 3
Pela tabela das transformadas e das transformadas inversas:
Podemos usar isso para encontrar nossa solução :