Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

12. y ' ' + 3 y ' + 2 y = 0 ;     y 0 = 1 ;     y ' 0 = 0

Passo 1

Vamos começar aplicando a transformada na EDO e depois usando a linearidade das transformadas:

L y ' ' + 3 y ' + 2 y = L y ' ' + 3 L y ' + L 2 y

Pelo teorema da derivada da transformada:

L f ' ( t ) = s L f ( t ) - f ( 0 )

E podemos escrever cada transformada que separamos como:

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 3 s Y s - y 0 + 2 Y s = 0

Sendo Y a transformada e y a função.

Passo 2

Substituindo as condições iniciais da questão, a equação vai ficar:

s 2 Y s - s + 3 s Y s - 1 + 2 Y s = 0

s 2 Y s + 3 s Y s + 2 Y s - 3 - s = 0

Então podemos isolar Y ( s ) :

Y s s 2 + 3 s + 2 = s + 3

Y s = s + 3 s 2 + 3 s + 2

Agora precisamos das frações parciais, vamos reescrever o denominador como produtos irredutíveis:

Y s = s + 3 ( s + 1 ) ( s + 2 )

Para podermos separar em dois termos:

s + 3 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = A s + 1 + B s + 2  

Tiramos MMC:

s + 3 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = A s + 2 + B ( s + 1 ) ( s + 1 ) ( s + 2 )

Simplificando dos dois lados, fica:

s + 3 = A s + 2 + B ( s + 1 )

Para s = - 2 a gente zera o termo que tem A , sobra só:

1 = - B

B = - 1

E para s = - 1 , B que some, e fica o seguinte:

A = 2

Nossas frações então são:

Y s = s + 3 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = 2 s + 1 - 1 s + 2  

Passo 3

Pela tabela das transformadas e das transformadas inversas:

e a t = 1 s - a

Podemos usar isso para encontrar nossa solução y ( t ) :

y t = L - 1 Y s = 2 e - t - e - 2 t

Resposta

y t = 2 e - t - e - 2 t

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