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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 7b

Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:

∫ ∫ D x 2 + y 2 d x d y , onde D é a região no primeiro quadrante do pano x y limitada por x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 4 , y = x e y = 3 3 x .

Passo 1

Bom galera, vamos começar mudando as variáveis na integral dupla para cordenadas polares, para mudança de variável temos essa formulinha:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q f x u , v , y r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = ∫ ∫ Q ( x 2 + y 2 ) ⋅ r d r d θ

Agora substituímos as variáveis:

A = ∫ ∫ Q r 2 ⋅ r   d r d θ

= ∫ ∫ Q r 3   d r d θ

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 4

y = x

y = 3 3 x

E a gente tem as equações:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Então nossa região em Q fica:

1 ≤ r ≤ 2

π 6 ≤ θ ≤ π 4

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ π 6 π 4 ∫ 1 2 r 3   d r d θ

Integramos a primeira vez:

A = ∫ π 6 π 4 r 4 4 1 2   d θ

= ∫ π 6 π 4 2 4 4 - 1 4 4   d θ

= ∫ π 6 π 4 4 - 1 4   d θ

= ∫ π 6 π 4 1 5 4   d θ

E integramos denovo:

A = 15 4 θ π 6 π 4

= 15 4 π 4 - π 6

= 15 4 3 π - 2 π 12

= 15 4 π 12 = 15 π 48

E prontinho. 😊

Resposta

A = 15 π 48

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