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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 8

Determine a área da região D de plano x y definida por D = x , y ∈ R 2 x 2 + y - 2 2 ≤ 4   e   x 2 + y 2 > 4 .

Passo 1

Bom galera, vamos começar mudando as variáveis na integral dupla para cordenadas polares, para mudança de variável temos essa formulinha:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q f x u , v , y r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = ∫ ∫ Q 1 ⋅ r d r d θ

∫ ∫ Q r   d r d θ

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

x 2 + y - 2 2 ≤ 4

x 2 + y 2 > 4

E a gente tem as equações:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Então nossa região em Q fica:

2 ≤ r ≤ 4 sin ⁡ θ

π 6 ≤ θ ≤ 5 π 6

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ π 6 5 π 6 ∫ 2 4 sin ⁡ θ r   d r d θ

Integramos a primeira vez:

A = ∫ π 6 5 π 6 r 2 2 2 4 sin ⁡ θ   d θ

= ∫ π 6 5 π 6 8 sin 2 ⁡ θ - 2   d θ

E integramos denovo:

A = - 2 sin ⁡ 2 θ + 2 θ π 6 5 π 6

= 10 π 6 + 3 - 2 π 6 + 3

= 4 π 3 + 2 3

E prontinho. 😊

Resposta

A = 4 π 3 + 2 3

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