Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x c = ∫ ∫ B x   d m ∫ ∫ B d m

y c = ∫ ∫ B y   d m ∫ ∫ B d m

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = δ x ,   y   d x d y

Neste caso, B é dado por:

Só que só vamos pegar a região com 0 ≤ x ≤ 1 , pois é a única que se encaixa na restrição de B, onde:

x 3 ≤ y ≤ x

Além de que:

δ x ,   y = 1

Passo 2

A massa de B é dada por:

∫ ∫ B d m = ∫ 0 1 ∫ x 3 x 1   d y d x

= ∫ 0 1 y | x x 3 d x

Substituindo o intervalo de integração:

= ∫ 0 1 x - x 3 d x

= x 2 2 - x 4 4 | 1 0

Assim:

= 1 2 - 1 4 = 1 4

Passo 3

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

∫ ∫ B x d m = ∫ 0 1 ∫ x 3 x x   d y d x

= ∫ 0 1 x y | x x 3 d x

Substituindo o intervalo de integração:

= ∫ 0 1 x x - x 3 d x

= ∫ 0 1 x 2 - x 4 d x

= x 3 3 - x 5 5 | 1 0

Assim:

= 1 3 - 1 5 = 2 15

Passo 4

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

∫ ∫ B y d m = ∫ 0 1 ∫ x 3 x y   d y d x

= ∫ 0 1 y 2 2 | x x 3 d x

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 2 ∫ 0 1 x 2 - x 6 d x

= 1 2 x 3 3 - x 7 7 | 1 0

Assim:

= 1 2 1 3 - 1 7 = 2 21

Passo 5

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x c = 2 15 1 4 = 8 15

E

y c = 2 21 1 4 = 8 21

Logo:

8 15 , 8 21

Resposta

8 15 , 8 21

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