Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 π ∫ y π cos ⁡ x 2   d x   d y

Passo 1

O primeiro passo é esboçar a região, em que x vai da reta x = y até a reta x = π :

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 até π , enquanto y vai do eixo x ( y = 0 ) até a reta y = x . Assim,

∫ 0 π ∫ y π cos ⁡ x 2   d x   d y = ∫ 0 π ∫ 0 x cos ⁡ x 2   d y   d x

Passo 2

Fazendo a primeira integral em y :

∫ 0 π ∫ 0 x cos ⁡ x 2   d y   d x = ∫ 0 π x cos ⁡ x 2   d x

Assim, chamando u = x 2 , temos que d u = 2 x   d x . Assim,

∫ 0 π x cos ⁡ x 2   d x = 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ u   d u = 1 2 s e n   u 0 π = 0

Repare que como fizemos uma substituição, os limites de integração também mudaram.

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados