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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 50

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 π ∫ y π cos ⁡ x 2   d x   d y

Passo 1

O primeiro passo é esboçar a região, em que x vai da reta x = y até a reta x = π :

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 até π , enquanto y vai do eixo x ( y = 0 ) até a reta y = x . Assim,

∫ 0 π ∫ y π cos ⁡ x 2   d x   d y = ∫ 0 π ∫ 0 x cos ⁡ x 2   d y   d x

Passo 2

Fazendo a primeira integral em y :

∫ 0 π ∫ 0 x cos ⁡ x 2   d y   d x = ∫ 0 π x cos ⁡ x 2   d x

Assim, chamando u = x 2 , temos que d u = 2 x   d x . Assim,

∫ 0 π x cos ⁡ x 2   d x = 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ u   d u = 1 2 s e n   u 0 π = 0

Repare que como fizemos uma substituição, os limites de integração também mudaram.

Resposta

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ - 2 2 ∫ 0 4 - y 2 f x , y d x d y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 3 ∫ y 2 9 y cos ⁡ ( x 2 )d xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ x 2 1 x 3 sen ⁡ ( y 3 ) d yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ y 1 x 3 + 1d xd y
3. Inverter a ordem de integração:int_0^4 int_0^((y)/(2)) f (x , y) d x d y