Determine todos os valores de p para os quais I(p, a) tem um limite finito quando a tende para + infinito .

Passo 1

Bom galera, a questão quer que encontre os valores para p quando a tender ao infinito e a função tenha resultado finito, para a função que é encontrada no item anterior, que é:

I p , a = p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 1 - p π

Onde sabemos que:

p ≠ 1

Passo 2

Belezinha, a gente precisa aplicar o limite tendendo ao infinito:

lim a → + ∞ ⁡ p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 1 - p π

Passo 3

Show de bolinhas, nós teremos dois casos com esse limite, são quando o denominador for positivo e quando for negativo, apenas não poderá ser 0 pois causaria indeterminação, vamos aos casos:

Primeiro para 1 - p > 0 :

lim a → + ∞ ⁡ p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 1 - p π

Se aplicarmos no limite notaremos que os expoentes serão positivos e o denomidador também, logo o a 2 da função vai fazer ele toda tender ao infinito, logo:

lim a → + ∞ ⁡ p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 1 - p π = ∞

Passo 4

Show de bolinhas, agora no caso de 1 - p < 0 :

lim a → + ∞ ⁡ p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 1 - p π

Nesse caso, os expoentes vão se tornar negativos e a parte que possui o a vai ser invertido, tipo assim:

a - 2 = 1 a 2 (Apenas um exemplo)

Mas com isso deduzimos que o limite ficará assim:

lim a → + ∞ ⁡ p 2 + a 2 1 - p - p 2 1 - p 1 - p π = 1 ∞ = 0

Passo 5

Por fim, a gente percebe que os resultados finitos da função são quando ela zera, e isso acontece quando:

1 - p < 0

Logo:

p > 1

E prontinho. 😊

Resposta

p > 1

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