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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 13a

Se a > 0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .

Mostre que

I^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y

Onde:

D = [- a , a] xx [- a , a]

Passo 1

Bom galera, a gente tem que provar que: I^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y

Onde temos que:

I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u

E a região D é dada dor:

D = [- a , a] xx [- a , a]

Passo 2

Belezinha, agora vamos pegar a nossa integral:

I^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y

A região fica:

I^2 (a) = int_(- a)^a int_(- a)^a e^(- x^2 - y^2) d x d y

Com a propriedade dos exponencial a gente pode fazer isso:

I^2 (a) = int_(- a)^a int_(- a)^a e^(- y^2) (e^(- x^2)) d x d y

Tá vendo? Formou I (a) dentro da integral, então fica:

I^2 (a) = int_(- a)^a e^(- y^2) (I (a)) d y

Passo 3

Show de bolinhas, agora a gente nota que também vai formar outro I (a) :

I^2 (a) = (I (a)) (I (a))

I^2 (a) = I^2 (a)

E prontinho. 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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