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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 12c

12. Descreva o domínio e as superfícies de nível das funções abaixo.

c) f x , y , z = x 2 + y 2 - z - 1 2

Passo 1

Vamos começar descrevendo o domínio de f x , y , z = x 2 + y 2 - z - 1 2 .Como essa função é uma algébrica polinomial, não pode ocorrer problema algum com o domínio da função, pois ela está bem definida em todos os pontos(pois é a soma de funções bem definidas).

Então temos que nosso domínio é: D f = ( x , y , z ) ∈ R 3 .

Agora para esboçar as superfícies de nível, vamos lembrar o que são. Uma superfície de nível é o conjunto dos pontos: f x , y , z = c = x 2 + y 2 - z - 1 2 ↔ x 2 + y 2 = c + z - 1 2 .

Esse tipo de superfície pode assumir duas caras. Quando c = 0 , temos que sua forma é a de um cone, pois sua equação será x 2 + y 2 = z - 1 2 . Nesse caso, a superfície de nível será:

Quando c ≠ 0 , temos que sua forma é a de um hiperbolóide de uma folha, pois sua equação será x 2 + y 2 - z - 1 2 = c . Nesse caso,as superfícies de nível são da seguinte forma(nesse exemplo foi usado c = 2 ) :

Resposta

Análise acima.

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