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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 4g

Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também os ponrots em que esses valores são atingidos

f x , y = x y   e   A = x , y ∈ I R 2 4 x 2 + y 2 = 1 ,   y ≥ 0 }

Passo 1

Colocar todas as variáveis em função de x:

f x , y = x y

4 x 2 + y 2 = 1

y = 1 - 4 x ²

f x , 1 - 4 x ² = x . 1 - 4 x ²

∇ f x x , y = - 1 + 8 x ² 1 - 4 x ²

Não está definida quando 1 - 4 x 2 = 0 isto é, x = ± 1 2 , então:

∇ f x x , y = 0   a p e n a s   s e - 1 + 8 x 2 = 0

Fazendo com que x seja:

x = ± 1 2 2

Passo 2

Tirar a derivada segunda da nossa função:

∇ f x x , y = - 1 + 8 x ² 1 - 4 x ²

∇ ' ' f x , y = 4 x ( - 3 + 8 x 2 ) ( 1 - 4 x 2 ) 3 / 2

Passo 3

Aplicar a derivada nos pontos críticos encontrados:

∇ ' ' f x - 1 2 2 = 8

∇ ' ' f x + 1 2 2 = -   8

Pelo teste da segunda derivada x = - 1 2 2   e   y = 1 2 é ponto de mínimo. E x = + 1 2 2   e   y = 1 2 é ponto de máximo.

Resposta

Portante, f - 1 2 2   ,   1 2 = - 1 4 é o valor mínimo e f 1 2 2   ,   1 2 = 1 4 é o valor máximo em A.

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