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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 4d

Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também os ponrots em que esses valores são atingidos

f x , y = x ² x 2 + y ²   e   A = { ( x , y ) ∈ I R 2 | ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) }

Passo 1

Verificar os pontos críticos dentro da região:

f x , y = x ² x 2 + y ²

∇ f x x , y = 2 x y ² ( x 2 + y 2 ) ²

∇ f y x , y = - 2 x ² y ( x 2 + y 2 ) ²

∇ f x , y = ( 2 x y 2 x 2 + y 2 2 , - 2 x ² y ( x 2 + y 2 ) ² )

Passo 2

Igualar os pontos críticos a zero:

∇ f x , y = ( 2 x y 2 x 2 + y 2 2 , - 2 x ² y ( x 2 + y 2 ) ² )

∇ f x x , y = 2 x y ² ( x 2 + y 2 ) ² = 0

x = 0   o u   y = 0

∇ f y x , y = - 2 x ² y ( x 2 + y 2 ) ² = 0

x = 0   o u   y = 0

Passo 3

Se houver pontos de máximos e mínimos globais, ele ocorrerá no ponto

f x , 0 = 0   e   f 0 , y = 0 ,   p a r a   ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

Em f x , 0 = 0 :

f x , y = x ² x 2 + y ²

f x , 0 = x ² x 2

f x , 0 = 1

Em f 0 , y :

f x , y = x ² x 2 + y ²

f 0 , y = 0 y ²

f 0 , y = 0

1 é o valor máximo dado em f x , 0 e zero é o valor mínimo dado em f 0 , y .

Resposta

f x , 0 = 1 é ponto de máximo com x ≠ 0

f 0 , y = 0 é ponto de mínimo com y ≠ 0

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