Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem de f forem contínuas, então

f x y y = f y x y = f y y x

Passo 1

Show de bola, galera! Preparem-se para a sopa de letrinhas

Sabemos que, pelo Teorema de Clairaut, para funções com segunda derivada contínua, f x y = f y x . Ou seja, basta trocar a ordem de integração, ou, melhor, trocar os índices que indicam essa ordem.

No nosso caso, vamos fazer:

f x y y = f x y y = ⏟ I n v e r t e   a   o r d e m f y x y = f y x y ∴ f x y y = f y x y

Seguindo a mesma lógica, temos que:

f y x y = f y x y = ⏟ I n v e r t e   a   o r d e m f y y x = f y y x ∴ f y x y = f y y x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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