Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 97
Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem de forem contínuas, então
Passo 1
Show de bola, galera! Preparem-se para a sopa de letrinhas 
Sabemos que, pelo Teorema de Clairaut, para funções com segunda derivada contínua, . Ou seja, basta trocar a ordem de integração, ou, melhor, trocar os índices que indicam essa ordem.
No nosso caso, vamos fazer:
Seguindo a mesma lógica, temos que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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14. Seja z = int_1^(x^2 - y^2) [ int_0^u s e n t^2 d t ] d u . Calculea) (del^2 z)/(del x del y) b)(del^2 z)/(del x^2)
14. Seja z = int_1^(x^2 - y^2) [ int_0^u s e n t^2 d t ] d u . Calculea) (del^2 z)/(del x del y) b)(del^2 z)/(del x^2)
15. Seja z = f x , y ,x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ 2 f ∂ y∂ x são contínuas em A. Seja ( x 0 , y 0 ) um ponto qualquer de A ; sej
Seja z = f ( x , y ) , x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ 2 f ∂ y∂ x são contínuas em A . Seja ( x 0 ,y 0 ) um ponto qualquer de A ; se
Seja z = f ( x , y ) , x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ 2 f ∂ y∂ x são contínuas em A . Seja ( x 0 ,y 0 ) um ponto qualquer de A ; se