Suponha que para cada natural , é um subconjunto aberto do . Seja a reunião de todos os e a interseção de todos os Pergunta-se é aberto? é aberto? Justifique.
Passo 1
Primeiro, perceba que quando o problema diz reunião de todos os significa , certo móvei?
Vamos tratar primeiro da primeira pergunta 😉
SIIIIIIIIIM. Temos que é aberto. Sabe por que? Vamos provar!
Seja Então, para algum . Como é aberto, para todo , então é aberto. Daí, existe tal que
Portanto, ). Por fim, é aberto.
Beleza?!
Passo 2
Já a interseção... ;/ Ou seja, C não necessariamente é aberto, tome como exemplo,
Os são abertos , mas , mas não aberto, pois, já que o intervalo , contém números diferentes
Resposta
é sempre aberto, mas não necessariamente.