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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 8a

8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0

f x , y = x y x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0

= 0 → x , y = 0,0

Passo 1

Uma condição suficiente para que uma equação seja diferenciavel é que as derivadas parciais gerem um valor real no ponto. Então basta provarmos que

∂ f x 0 , y 0 ∂ x =   ∃

e

∂ f x 0 , y 0 ∂ y =   ∃

Se algumas delas divergir para infinito então a função não é diferenciavel : )

Outro ponto importante é se continuidade. Se a função não for continua, não é diferenciavel.

Passo 2

Podemos fazer um truque para descobrir se a função é descontinua, vamos fazer o limite dessa função pelo caminho

x = y

Assim por todos os caminhos, a função tem que chegar ao mesmo ponto. Dessa forma nossa equação fica

lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + x 2

lim x → 0 ⁡ x 2 2 x 2 = 1 2

Como nossa função tende a 1 2 e não a 0, logo essa função não é diferenciavel

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

f x , y = x y x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0

= 0 → x , y = 0,0

Não É diferenciavel.

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