Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 25
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
Passo 1
E aí, gente! Tudo beleza?
A série binominal é a expansão de , ficando assim:
Outra notação também é:
No nosso caso temos:
Que podemos reescrever como:
Então o que precisamos fazer aqui é expandir para encontrar a série de que representa a função .
A série binominal sempre converge quando , então usamos essa informação para achar o Raio de Convergência.
Bora resolver isso!
Passo 2
Vamos achar a série binominal de :
Aqui no nosso caso nosso expoente é:
Podemos montar escrever a função como:
Expandindo alguns elementos usando aquela equação que coloquei para nós no passo 1, temos:
A partir do terceiro termo já notamos um padrão: o denominador é em forma de fatorial. Também temos uma divisão por 4 no denominador das frações do numerador que se multiplica vezes, então podemos colocar ela no numerador como :
Então essa é nossa função escrita como série binomial.
Passo 3
Sabemos que para a série binomial. Logo o raio de convergência é .