Dê exemplo de uma função f: A ∈ R^2 → R tal que (∂f/∂x)(x, y) = (∂f/∂y)(x, y) = 0 para todo (x, y) pertence A , mas que f não seja uma constante.

Passo 1

Uma função com derivadas sempre nulas, mas que não seja constante!? Existe isso realmente?

Bem, como podemos nos imaginar, a f deve ser uma função extremamente loka. Tente pensar em alguma!

Passo 2

O truque é deixar a f constante, mas só em porções!

Uma solução possível para este problema seria:

f = 1 s e   x ≥ 0 - 1 s e   x < 0

Bizarro né? A f possui derivadas nulas porque nunca varia pontualmente. Entretanto, a f não é sempre igual a uma mesma constante!

Note que, é claro, existe uma descontinuidade em torno de toda a reta x = 0 , onde a f dá um salto repentino. As derivadas nem estariam definidas neste lugar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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