Seja A um subconjunto so que goza da propriedade :quaisquer que sejam e em A, existe uma curva contínua , tal que e . Prove que se for contínua em A e . Então existirá , tal que .
(Sugestão: Use o teorema do valor médio à função contínua
Passo 1
Considere , como e são contínuas, então a função é continua com e como é uma função de somente uma vaiável, podemos usar o Teorema do Valor intermediário da reta, ou seja
“Se uma função real definida num intervalo é continua, então qualquer ponto tal que é da forma , para algum ponto
Vamos lá,
Resposta
Façamos
E,
Por hipótese,
Logo, pelo TVI, existe um , tal que
Ou seja,