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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 4

Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,   y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 )   . Prove que se f for contínua em A e f ( x 1 , y 1 ) < m < f ( x 0 , y 0 ) . Então existirá x , - y - ∈ A , tal que f x , - y - = m .

(Sugestão: Use o teorema do valor médio à função contínua g t = f γ t ,   t ∈ a , b . )

Passo 1

Considere g t = f ( γ ( t ) , como f e γ são contínuas, então a função g é continua com D g = a , b   e como g é uma função de somente uma vaiável, podemos usar o Teorema do Valor intermediário da reta, ou seja

“Se uma função real f definida num intervalo [ a , b ] é continua, então qualquer ponto d   tal que f ( a ) ) ≤ d ≤ f ( b )   é da forma d = f ( c ) , para algum ponto c ∈ a , b .   "

Vamos lá,

Resposta

Façamos

f γ a = f x 0 ,   y 0 < m

E,

f γ b = f x 1 ,   y 1 > m

Por hipótese,

Logo, pelo TVI, existe um t - ∈ [ a , b ] , tal que

f γ t - =   m  

Ou seja,

f x , - y - = m

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