Seja A um subconjunto so R^2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam (x₀, y₀) e (x₁, y₁) em A, existe uma curva contínua γ: [a, b] → A , tal que γ(a) = (x₀, y₀) e γ(b) = (x₁, y₁) . Prove que se f for contínua em A e f(x1, y1) < m < f(x0, y0) . Então existirá (x, -y) ∈ A , tal que f(x, y) = m .

(Sugestão: Use o teorema do valor médio à função contínua g(t) = f(γ(t)), t ∈ [a, b]

Passo 1

Considere g t = f ( γ ( t ) , como f e γ são contínuas, então a função g é continua com D g = a , b   e como g é uma função de somente uma vaiável, podemos usar o Teorema do Valor intermediário da reta, ou seja

“Se uma função real f definida num intervalo [ a , b ] é continua, então qualquer ponto d   tal que f ( a ) ) ≤ d ≤ f ( b )   é da forma d = f ( c ) , para algum ponto c ∈ a , b .   "

Vamos lá,

Resposta

Façamos

f γ a = f x 0 ,   y 0 < m

E,

f γ b = f x 1 ,   y 1 > m

Por hipótese,

Logo, pelo TVI, existe um t - ∈ [ a , b ] , tal que

f γ t - =   m  

Ou seja,

f x , - y - = m

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