Exercícios Resolvidos de Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

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Enunciado

Uma barra está sujeita aos esforços mostrados abaixo, determine a tensão normal no ponto B. diga se essa tensão é de tração ou de compressão.

Passo 1

Para resolvermos essa questão temos que tomar cuidado com algumas coisas. A primeira é que temos 2 esforços nessa seção, um esforço de flexão e um normal, logo essa é a dica de que a nossa fórmula final deverá apresentar 2 parcelas, uma para cada esforço.

A segunda preocupação que devemos ter é com relação aos sinais, tanto dos eixos, quanto os dos momentos, além é claro das próprias fórmulas da flexão que apresentam os seus próprios sinais.

Dito os cuidados precisamos lembrar das fórmulas de cada direção antes de começarmos de fato a resolver o exercício.

Sabemos que quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de z usamos a fórmula

σ N = - M z   .     Y I z z

E por fim quando temos a ação de um esforço normal usamos a fórmula

σ N = N A

Passo 2

Com relação ao valor de Y teremos que descobrir a posição da linha neutra, para isso teremos que fazer o nosso passo a passo

Primeiro determinamos a origem do nosso sistema

Agora vamos dividir a nossa peça em dois elementos mais simples

Em seguida descobrimos quanto vale a área e a distância do centroide de cada elemento até a nossa origem.

Dessa forma descobrimos facilmente que as áreas serão

A 1 = 1,8   .   0,5 = 0 , 90   m 2

A 2 = 2 , 5   .   0 , 60 = 1,5   m 2

y 1 = 2 , 7 5   m

y 2 = 1 , 25   m

Y = ∑ Y i A i ∑ A i = ( 0 , 90   .     2 , 7 5 + 1,5   .   1 , 25 ) 0,9 + 1,5 ≅ 1,8125   m = 181,25   c m

Definimos assim a nossa linha neutra

Agora só falta o momento de inércia

Passo 3

Para o cálculo do momento de inércia teremos que usar de novo o nosso passo a passo. Sabemos que para calcularmos momentos de inercia precisamos determinar 3 coisas. As áreas de cada elemento, a distância do centroide de cada elemento até a linha neutra e por fim o momento de inercia de cada elemento. Como os elementos são retangulares, teremos que o momento de inercia deles é

I i = B H 3 12

A figura abaixo representa as distâncias dos centroides de cada elemento até a linha neutra

E nessa imagem temos as medidas para calcularmos os momentos de inercia

Calculando o momento de inercia de cada elemento teremos que

I 1 = 1 , 8   .   0 , 5 3 12 = 0,01875   m

I 2 = 0 , 6   .   2 , 5 3 12 = 0,78125   m

E no passo anterior já tínhamos determinado o valor das áreas

A 1 = 1,8   .   0,5 = 0,90   m 2

A 2 = 2,5   .   0,60 = 1,5   m 2

Agora que já temos todos os valores, bata calcularmos o momento de inercia para a fórmula

I = ∑ ( I i + A i   .     d i 2 )

I = 0,01875   + 0,90   .   0 , 9 3 75 2 + 0,78125 + 1,5   .   0,5 625 2 = 2,07 m 4

Passo 4

Vamos analisar a ação de cada esforço separadamente, primeiro vamos analisar o momento fletor na direção Z.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = - M z   .     Y I z z

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto B.

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é contrário ao eixo z, logo,

M z   = - 16 0 K N . m

O sinal de Y é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relação a Y o ponto B está em baixo.

Como arbitramos que Y é negativo pra baixo e positivo pra cima, teremos que Y valerá a própria distancia que encontramos para a linha neutra.

Y B = - 181,25   c m = - 181,25     .   10 - 2 m

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M z   no ponto B será

σ N / B = - - 16 0 .   - 181,25     .   10 - 2 2,07 = - 140,1 K p a

Passo 5

Por fim vamos analisar a parcela referente a ação do esforço normal

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = N A

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto B.

Primeiro vemos que a direção do normal é a mesma do sentido de tração, logo,

N = + 80 K N

Como a área não tem sinal, a parcela de contribuição devido N no ponto B será

σ N = ( N ) A 1 + A 2 = 80 0,90 + 1,5 = 33,33 K N m 2 = 33,33   K p a

Passo 6

Agora que já determinamos todas as parcelas, basta somarmos todas elas na fórmula final, logo teremos que a tensão total Normal será

σ t o t a l = - M z   .     Y I z z   +     N A

σ t o t a l = - 140,1   +   33,33 = - 106 ,   77   K p a

Resposta

A tensão é de compressão

σ t o t a l = - 106 ,   77   K p a

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