Exercícios Resolvidos de Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

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Enunciado

Deduza a fórmula de tensão normal total para o ponto B levando em consideração a figura dada abaixo. Leve em consideração os sinais e orientações dos vetores.

Passo 1

Para resolvermos essa questão temos que tomar cuidado com algumas coisas. A primeira é que temos 3 esforços nessa seção, dois esforços de flexão e um esforço normal, logo essa é a dica de que a nossa fórmula final deverá apresentar 3 parcelas, uma para cada esforço.

A segunda preocupação que devemos ter é com relação aos sinais, tanto dos eixos, quanto os dos momentos, além é claro das próprias fórmulas da flexão que apresentam os seus próprios sinais.

Por fim a última analise é um macete para verificarmos se acertamos ou não os sinais da fórmula.

Dito os cuidados precisamos lembrar das fórmulas de cada direção antes de começarmos de fato a resolver o exercício.

Sabemos que quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de z usamos a fórmula

σ N = - M z   .     Y I z z

Quando utilizamos o momento fletor direcionado no sentido de Y usamos a fórmula

σ N = M y   .     z I y y

E por fim quando temos a ação de um esforço normal usamos a fórmula

σ N = N A

Agora vamos entender a nossa solução.

Passo 2

Vamos analisar a ação de cada esforço separadamente, primeiro vamos analisar o momento fletor na direção Z.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = - M z   .     Y I z z

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto B.

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é contrário ao eixo z, logo,

M z   = n e g a t i v o

O sinal de Y é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relação a Y o ponto B está em baixo.

Como arbitramos que Y é negativo pra baixo e positivo pra cima, teremos que

Y = n e g a t i v o

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M z   no ponto B será

σ N = - ( - M z   ) .   ( -   Y ) I z z = - ( M z   ) .   (   Y ) I z z

Passo 3

Agora vamos analisar a ação do esforço para o momento fletor na direção Y.

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = M y   .     z I y y

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto B.

Primeiro vemos que a direção do momento fletor é a mesma do eixo y, logo,

M y   = p o s i t i v o

O sinal de Z é determinado pela posição do ponto que calculamos, nesse caso, em relação a Z o ponto B está na esquerda.

Como arbitramos que Z é negativo pra direita e positivo pra esquerda, teremos que

Z = p o s i t i v o

Como o momento de inercia não tem sinal, a parcela de contribuição devido M z   no ponto B será

σ N = M y   .     z I y y = ( + M y   ) .   ( + z ) I y y = M y   .     z I y y

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Por fim vamos analisar a parcela referente a ação do esforço normal

Sabemos que nesse caso a fórmula que usamos é

σ N = N A

Precisamos agora analisar os sinais para o ponto B.

Primeiro vemos que a direção do normal é a mesma do sentido de tração, logo,

N = p o s i t i v o

Como a área não tem sinal, a parcela de contribuição devido N no ponto B será

σ N = ( + N ) A = N A

Passo 7

Agora que já determinamos todas as parcelas, basta somarmos todas elas na fórmula final, logo teremos que a tensão total normal será

σ t o t a l = - M z   .     Y I z z   +     M y   .     z I y y   +     N A

Passo 8

Agora que já determinamos o valor de cada uma das contribuições de cada seção vamos usas o macete pra saber se todos os sinais que determinamos estão certinhos.

Vamos definir o seguinte, nenhuma das fórmulas possui sinal, log consideraremos tudo positivo, todos os sinais serão dados apenas pela analise de tração e compressão. Para isso vamos desenhar retângulos e os nossos momentos.

Agora só analisar quais regiões são tracionadas e quais são comprimidas

Se olharmos cada quadrante vemos que no primeiro caso B comprime, logo negativo, e nos outros dois casos traciona, ou seja, positivo.

Primeiro caso negativo

- M z   .     Y I z z  

Segundo caso positivo

+     M y   .     z I y y  

Terceiro caso positivo

+     N A

Logo a nossa fórmula de tensões normais totais será

σ t o t a l = - M z   .     Y I z z   +     M y   .     z I y y   +     N A

O que confirma que todo o cálculo que fizemos nos passos anteriores estão certinhos. Se por acaso o professor autorizar você pode usar somente o passo 6 dessa solução para resolver o problema, mas lembre-se, procure ver se o professor autoriza usar tal processo.

Resposta

σ t o t a l = - M z   .     Y I z z   +     M y   .     z I y y   +     N A

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