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Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Exercício 91234567810

Enunciado

Determinar os escalares, p , q , r   ϵ   R tal que possamos escrever o vetor v = 1,2 , 3   ϵ   R 3 como

1,2 , 3 = p ⋅ 1,0 , 0 + q ⋅ 1,1 , 0 + r ⋅ ( 1,1 , 1 )

Passo 1

Oieee! Vamo que vamo para mais uma questão sobre Combinação Linear!

O enunciado já deu pra gente como a gente vai fazer essa combinação, que é desse jeitinho aqui:

p ⋅ 1,0 , 0 + q ⋅ 1,1 , 0 + r ⋅ 1,1 , 1 = 1,2 , 3

Vamos começar fazendo a distributiva

p , 0,0 + q , q , 0 + r , r , r = ( 1,2 , 3 )

Passo 2

Shoow de bola, agora vamos somar os vetores, ficando com:

p + q + r , 0 + q + r , 0 + 0 + r = 1,2 , 3

Ajeitando isso daí ficamos com

p + r + q , r + q , r = ( 1,2 , 3 )

O que vamos fazer é igualar os valores que estão “na mesma virgula” desse jeitinho aqui

p + r + q = 1 r + q = 2 r = 3

Opa, a última linha já dá a ideia pra gente!

r = 3

Passo 3

Na segunda linha temos que

r + q = 2

Substituindo o valor que encontramos de r

3 + q = 2

q = 2 - 3

Logo

q = - 1

Passo 4

Agora que temos r e q , vamos para a primeira linha do nosso sisteminha, substituir esses valores e achar a última variável

p + q + r = 1

Substituindo pelos valores que encontramos, temos que

p + - 1 + 3 = 1

p - 1 + 3 = 1

p + 2 = 1

Passando esse - 2 para o outro lado, temos:

p = 1 - 2

p = - 1

Uhuul, achamos os valores das 3 variáveis

Resposta

p = - 1 ,   q = - 1 e r = 3